Question

СРОЧНО, ДАМ 100 БАЛЛОВ! Решите дифференциальное уравнение: (x+1)y² + xy = 0

Answer 1

Удачи в контрольной::))

Answer 2

Очень рад помочь вам с вашим дифференциальным уравнением! Я могу предложить два подхода к его решению: метод разделения переменных и метод замены переменных. Рассмотрим оба варианта.

Метод разделения переменных:

1. Начнем с данного уравнения: (x+1)y² + xy = 0.

2. Разделим обе части уравнения на xy: (x+1)y/x + y = 0.

3. Вынесем y за скобки и разделим обе части на (x+1): y(1/x + 1/(x+1)) = 0.

4. Рассмотрим два возможных случая:

a) Первый случай: y = 0. Если y = 0, то уравнение выполняется для любого значения x.

b) Второй случай: (1/x + 1/(x+1)) = 0. Для решения этого уравнения найдем общий знаменатель: (x(x+1))/(x(x+1)) * (1/x + 1/(x+1)) = 0. (x + x+1)/(x(x+1)) = 0. (2x + 1)/(x(x+1)) = 0.

Теперь рассмотрим два подслучая:

i) Подслучай: 2x + 1 = 0. Решим это линейное уравнение: 2x = -1. x = -1/2.

ii) Подслучай: x(x+1) = 0. Здесь имеем два возможных значения x: x = 0 и x = -1.

Таким образом, уравнение имеет три решения: 1) y = 0 для любого значения x. 2) x = 0, y = 0. 3) x = -1, y = 0.

Метод замены переменных:

1. Предположим, что y = u/x. Здесь u - новая переменная.

2. Дифференцируем это выражение по x: dy/dx = (du/dx)/x - u/x².

3. Заменим dy/dx и y в исходном уравнении: (x+1)(u/x)² + x(u/x) = 0. (x+1)u²/x² + u = 0.

4. Умножим обе части уравнения на x²: (x+1)u² + xu = 0.

5. Раскроем скобки: xu² + u² + xu = 0.

6. Сгруппируем подобные члены: u(xu + u + x) = 0.

7. По свойству нулевого произведения: u = 0 или xu + u + x = 0.

8. Рассмотрим два возможных случая:

a) Первый случай: u = 0. Если u = 0, то y = u/x = 0 для любого значения x.

b) Второй случай: xu + u + x = 0. Разделим обе части на x: u + 1 + 1/x = 0. u = -1 - 1/x.

Теперь заменим u на -1 - 1/x в выражении y = u/x: y = (-1 - 1/x)/x.

Таким образом, у нас есть два решения: 1) y = 0 для любого значения x. 2) y = (-1 - 1/x)/x.

Я надеюсь, что эта информация поможет вам решить ваше дифференциальное уравнение! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.