Question

дакажите, что фуция y=x²-8x+16 возрастает на промежутке, [4;+ бесконечности)и убывает на промежутке(- бесконечности;4]​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y=x²-8x+16=(x-4)²

x₁∈[4;+∞)  x₂∈[4;+∞)  4≤x₁<x₂

y(x₂)-y(x₁)=(x₂-4)²-(x₁-4)²=(x₂-4-x₁+4)(x₂-4+x₁-4)=(x₂-x₁)(x₂+x₁-8)>0

x₂-x₁>0 т.к. x₂>x₁    x₂+x₁-8>0 т.к. x₂>x₁  x₁>4

получили, что если x₂>x₁   то  y(x₂)>y(x₁)  функция возрастает

x₁∈(-∞;4]   x₂∈(-∞;4]    x₁<x₂≤4

y(x₂)-y(x₁)=(x₂-x₁)(x₂+x₁-8)<0

x₂-x₁>0   x₂+x₁-8<0   т.к.  x₂+x₁<8   потому что x₁<x₂≤4

получили, что  если x₂>x₁  то  y(x₂)<y(x₁)   функция убывает

Answer 2

Для доказательства возрастания или убывания функции на определенном промежутке, нужно проанализировать ее производную на этом промежутке.

Дана функция y = x² - 8x + 16.

1) Доказательство возрастания на промежутке [4; ∞):

Сначала найдем производную функции y по x:

y' = 2x - 8.

Чтобы доказать, что функция возрастает на промежутке [4; ∞), нужно показать, что ее производная положительна на этом промежутке.

Подставим любое число больше 4 в производную и проверим ее знак:

y'(5) = 2 * 5 - 8 = 2 > 0.

Таким образом, производная положительна на промежутке [4; ∞), что означает, что функция возрастает на этом промежутке.

2) Доказательство убывания на промежутке (-∞; 4]:

Аналогично, найдем производную функции y по x:

y' = 2x - 8.

Чтобы доказать, что функция убывает на промежутке (-∞; 4], нужно показать, что ее производная отрицательна на этом промежутке.

Подставим любое число меньше 4 в производную и проверим ее знак:

y'(3) = 2 * 3 - 8 = -2 < 0.

Таким образом, производная отрицательна на промежутке (-∞; 4], что означает, что функция убывает на этом промежутке.

Таким образом, функция y = x² - 8x + 16 возрастает на промежутке [4; ∞) и убывает на промежутке (-∞; 4].