Question

Построить линии пересечения координатных плоскостей с плоскостью a, проходящей через точки А(1; 1; -1), В(3; -1; 1) и С(2; 3; 2), Найти угол между плоскостью a и плоскостью XOZ.

Answer 1

По заданным точкам А(1; 1; -1), В(3; -1; 1) и С(2; 3; 2) составим уравнение плоскости, проходящей через эти точки.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA             y - yA             z - zA

xB - xA         yB - yA            zB - zA

xC - xA         yC - yA            zC - zA   = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 1            y - 1              z - (-1)

3 - 1           (-1) - 1             1 - (-1)

2 - 1            3 - 1              2 - (-1)   = 0

x - 1            y - 1              z - (-1)

 2                -2                   2

 1                  2                    3    = 0

(x - 1)*(-2·3-2·2)  -  (y - 1)*(2·3-2·1) + (z - (-1))*(2·2-(-2)·1) = 0.

(-10)*(x - 1) + (-4)*(y - 1) + 6*(z - (-1)) = 0.

- 10x - 4y + 6z + 20 = 0.

5x + 2y - 3z - 10 = 0.

Перенесём свободный член вправо и разделим на него обе части уравнения. Получаем:

(5x/10) + (2y/10) - (3z/10) = 10/10.

(x/2) + (y/5) - (z/(10/3)) = 1. Это уравнение плоскости в отрезках.

Числа в знаменателях - это координаты на осях в точках пересечения их заданной плоскостью.

Уравнение плоскости xOz: y = 0.

Вычислим угол между плоскостями

5x + 2y - 3z - 10 = 0 и

y = 0

cos α =              |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|                      

             √(A1² + B1² + C1²) √(A2² + B2² + C2²)

cos α =          |5·0 + 2·1 + (-3)·0|                  

             √(5² + 2² + (-3)²) √(0² + 1² + 0²)       =

=            |0 + 2 + 0|                            

     √25 + 4 + 9 √0 + 1 + 0        =

=   2 /(√38* √1)  =   2 /√38 = √38 /19  ≈ 0.32444.

α = 71.068°.

Answer 2

Построение линии пересечения координатных плоскостей с плоскостью a

Для построения линии пересечения координатных плоскостей с плоскостью a, проходящей через точки А(1; 1; -1), В(3; -1; 1) и С(2; 3; 2), мы можем использовать метод векторного произведения.

1. Найдем векторы, лежащие в плоскости a, используя точки А, В и С: - Вектор AB: AB = B - A = (3 - 1, -1 - 1, 1 - (-1)) = (2, -2, 2) - Вектор AC: AC = C - A = (2 - 1, 3 - 1, 2 - (-1)) = (1, 2, 3)

2. Вычислим векторное произведение векторов AB и AC, чтобы получить вектор, перпендикулярный плоскости a: - Векторное произведение AB и AC: N = AB x AC = (2, -2, 2) x (1, 2, 3) = (-10, -2, 6)

3. Теперь, используя точку A и вектор N, мы можем записать уравнение плоскости a: - Уравнение плоскости a: -10x - 2y + 6z + D = 0

4. Чтобы найти значение D, подставим координаты точки A в уравнение плоскости: - Уравнение плоскости a с координатами точки A: -10(1) - 2(1) + 6(-1) + D = 0 - Решая это уравнение, получаем: D = 16

5. Таким образом, окончательное уравнение плоскости a будет выглядеть: - Уравнение плоскости a: -10x - 2y + 6z + 16 = 0

Нахождение угла между плоскостью a и плоскостью XOZ

Для нахождения угла между плоскостью a и плоскостью XOZ, мы можем использовать нормальные векторы этих плоскостей и формулу для нахождения угла между векторами.

1. Найдем нормальный вектор плоскости a, используя коэффициенты уравнения плоскости: - Нормальный вектор плоскости a: N_a = (-10, -2, 6)

2. Найдем нормальный вектор плоскости XOZ, которая является горизонтальной плоскостью: - Нормальный вектор плоскости XOZ: N_XOZ = (0, 1, 0)

3. Используя формулу для нахождения угла между векторами, найдем угол между N_a и N_XOZ: - Угол между N_a и N_XOZ: cos(θ) = (N_a • N_XOZ) / (|N_a| * |N_XOZ|), где • обозначает скалярное произведение, а |N| обозначает длину вектора N.

4. Подставим значения в формулу и рассчитаем угол: - Угол между N_a и N_XOZ: cos(θ) = ((-10)(0) + (-2)(1) + (6)(0)) / (sqrt((-10)^2 + (-2)^2 + (6)^2) * sqrt(0^2 + 1^2 + 0^2)) - Упрощая выражение, получаем: cos(θ) = -2 / sqrt(100 + 4 + 36) - Рассчитываем значение угла: θ = arccos(-2 / sqrt(140))

5. Используя калькулятор, получаем приближенное значение угла: θ ≈ 1.9106 радиан (или около 109.47 градусов).

Таким образом, угол между плоскостью a и плоскостью XOZ составляет около 1.9106 радиан (или около 109.47 градусов).