Question

Точка O центр грани cc1d1d в кубе abcda1b1c1d1 сос стороной корень из 2 Построить сечение перепедикулярное ac и проходящее через O найди площадь сечения

Answer 1

Прямоугольник LNKS - искомое сечение. KS ║ BD,  NK ║ CC₁,

но BD ⊥ АС, так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны ⇒

KS ⊥ АС; в свою очередь CC₁ ⊥ (АВС) ⇒ CC₁ ⊥ АС ⇒ NK ⊥ АС, значит отрезок АС перпендикулярен пересекающимся прямым KS ∩ NK = К ⇒

АС ⊥ плоскости (NKS), то есть сечению LNKS, где точка S - середина ребра ВС, K - середина СD, N - середина С₁D₁, L - середина ребра В₁C₁

⇒ KS = 0,5·BD = $0,5 * \sqrt{\sqrt{2}^{2} + \sqrt{2}^{2} } =0,5* \sqrt{4} = 0,5*2 = 1$  ⇒

площадь сечения LNKS равна: S(LNKS) = KS * NK = $1* \sqrt{2} = \sqrt{2}$

Answer 2

Для построения сечения, перпендикулярного отрезку AC и проходящего через точку O, необходимо найти точки пересечения этого сечения с гранями куба.

Первым шагом найдем координаты точки O. Так как O - центр грани cc1d1d, то его координаты будут средними значениями координат вершин этой грани. Грани cc1d1d образованы точками c(0, 0, 0), c1(√2, 0, 0), d1(√2, √2, 0) и d(0, √2, 0). Следовательно, координаты точки O будут ( (√2+0)/2 , (0+√2)/2 , 0 ) = ( √2/2 , √2/2 , 0 ).

Далее найдем уравнение плоскости, проходящей через точку O и перпендикулярной отрезку AC. Для этого воспользуемся векторным произведением векторов OA и OC, где A(0, 0, √2), C(√2, 0, √2) и O(√2/2 , √2/2 , 0).

Вектор OA = A - O = (0, 0, √2) - (√2/2 , √2/2 , 0) = (-√2/2 , -√2/2 , √2).

Вектор OC = C - O = (√2, 0, √2) - (√2/2 , √2/2 , 0) = (√2/2 , -√2/2 , √2).

Теперь найдем векторное произведение векторов OA и OC:

n = OA x OC = (-√2/2 , -√2/2 , √2) x (√2/2 , -√2/2 , √2).

Выполняя вычисления, получим n = (0, -2 , -2).

Так как нормальный вектор плоскости имеет координаты (0, -2 , -2), то уравнение этой плоскости будет иметь вид: 0*(x-√2/2) - 2*(y-√2/2) - 2*(z-0) = 0.

Упростив это уравнение, получим: -2y - 2z + 2√2 = 0.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с гранями куба. Для этого подставим значения координат вершин граней в уравнение плоскости и найдем точки пересечения.

Грань a1b1c1d1 образована точками a1(0, 0, √2), b1(√2, 0, √2), c1(√2, √2, √2) и d1(0, √2, √2).

Подставив координаты этих точек в уравнение плоскости, получим:

-2*0 - 2*√2 + 2√2 = 0, что равносильно -2√2 + 2√2 = 0. Уравнение верно для всех точек грани a1b1c1d1.

Таким образом, плоскость пересекает всю грань a1b1c1d1.

Следовательно, площадь сечения, перпендикулярного отрезку AC и проходящего через точку O, равна площади грани a1b1c1d1, которая является прямоугольником со сторонами √2 и √2.

Площадь сечения равна S = √2 * √2 = 2.