Question

Квадратная площадь размером 6×6 выложена квадратными плитами 1×1 четырёх цветов: белого, красного, чёрного и серого – так, что никакие две плиты одинакового цвета не соприкасаются друг с другом (то есть не имеют общей стороны или вершины). Сколько может быть черных плит?

Answer 1

Максимально — 6 штук. Каждая плита лежит на каждой строке и каждом столбце по одному разу.

Answer 2

Давайте разберемся. Каждая клетка 6x6 может быть выложена только одной плитой, и у нас есть четыре цвета плит. Мы знаем, что никакие две плиты одинакового цвета не могут соприкасаться.

Для максимального количества черных плит нужно максимально равномерно распределить цвета, чтобы избежать соприкосновения плит одного цвета. Это можно сделать следующим образом:

1. Начнем с первой клетки в левом верхнем углу. Пусть эта клетка будет черной.

2. Затем чередуем цвета в каждой следующей клетке в строке и в каждой следующей строке. То есть, если первая клетка черная, то вторая будет не черной, третья снова черной, и так далее. После завершения строки начинаем следующую строку с цвета, который не использовали в предыдущей строке.

Это означает, что черные клетки будут иметь следующий порядок: B - не B - B - не B и так далее. При таком распределении мы гарантируем, что черные клетки не будут соприкасаться.

Теперь посчитаем, сколько черных клеток у нас получится:

В каждой строке у нас 6 клеток. Так как черные клетки чередуются, то половина из них будет черной. Таким образом, у нас будет 6 / 2 = 3 черные клетки в каждой строке.

У нас 6 строк, поэтому общее количество черных клеток будет 6 (строк) * 3 (черные клетки в строке) = 18.

Итак, ответ: в этой квадратной площади 6x6 может быть 18 черных плит.