Question

Найдите сумму всех несократимых дробей со знаменателем 3, содержащихся между целыми числами 5 и 100.

Answer 1

Ответ:

9975

Пошаговое объяснение:

5, ..., 100

5=15/3, ..., 100=300/3

Между этими числами расположены дроби со знаменателем равным 3:

16/3, 17/3, 18/3, ..., 299/3, причём среди них есть несократимые дроби: 16/3, 17/3,..., 299/3  и сократимые дроби: 18/3=6, 21/3=7, ..., 297/3=99

План решения:

1. Найдём сумму всех дробей со знаменателем равным 3, расположенных между числами 5 и 100 (S₁)

2. Найдём сумму всех сократимых дробей со знаменателем равным 3, расположенных между числами 5 и 100 (S₂)

3. Найдём разность между суммой всех дробей и суммой сократимых дробей, расположенных между числами 5 и 100 (S=S₁-S₂)

Поможет нам в этом формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n$

Решение по плану:

1) S₁= 16/3 + 17/3 +...+299/3 = (16+17+...+299)/3 = S₂₈₄/3

(В последовательности 16, 17, ..., 299 ровно 284 члена   299-15=284)

S₂₈₄=(16+299)*284/2 = 315*142=44730

S₁ = 44730/= 14910

2) S₂= 18/3+21/3+...+297/3 = 6+7+...+99=S₉₄

(В последовательности 6,7,...,99 ровно 94 члена  99-5=94)

S₉₄ = (6+99)*94/2 = 105*47=4935

S₂=4935

3) S= S₁-S₂ = 14910-4935= 9975 - искомая сумма

Answer 2

Для нахождения суммы всех несократимых дробей со знаменателем 3, содержащихся между целыми числами 5 и 100, нужно просуммировать все такие дроби.

Первым шагом найдем все несократимые дроби со знаменателем 3. Знаменатель у нас фиксированный - 3, поэтому нам нужно найти все числители, которые не делятся на 3.

Числители, которые не делятся на 3 и находятся между 5 и 100, это числа 5, 6, 7, 8, ..., 99, 100. Заметим, что это арифметическая прогрессия с шагом 1, и чтобы найти количество членов этой прогрессии, можно воспользоваться формулой арифметической прогрессии:

n = (a + l) / 2,

где n - количество членов прогрессии, a - первый член прогрессии, l - последний член прогрессии. В нашем случае, a = 5, l = 100, поэтому:

n = (5 + 100) / 2 = 105 / 2 = 52.5.

Так как количество членов прогрессии должно быть целым числом, округлим результат вниз до 52.

Теперь, чтобы найти сумму всех несократимых дробей со знаменателем 3, нужно просуммировать все числители от 5 до 100 и поделить на 3:

сумма = (5 + 6 + 7 + ... + 99 + 100) / 3.

Чтобы упростить вычисления, воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

сумма = (n * (a + l)) / 2,

где n - количество членов прогрессии, a - первый член прогрессии, l - последний член прогрессии. В нашем случае:

сумма = (52 * (5 + 100)) / 2 = 52 * 105 / 2 = 2730.

Таким образом, сумма всех несократимых дробей со знаменателем 3, содержащихся между целыми числами 5 и 100, равна 2730.