Question

№1. Решите пожалуйста уравнение в целых числах: 3х(в квадрате) – xy + x— 2y = 3. ​

Answer 1

Ответ и Пошаговое объяснение:

Дано уравнение

3·x²–x·y+x–2·y=3.

Преобразуем уравнение:

3·x²+x–3=x·y+2·y

y·(x+2)=3·x²+x–3

Так как х = –2 не является корнем уравнения:

3·(–2)²–(–2)·y+(–2)–2·y=12+2·y–2–2·y=12–2=10≠3,

то делим на (х+2):

$\tt y=\dfrac{3 \cdot x^2+x-3}{x+2}$

$\tt y=3 \cdot x-5+\dfrac{7}{x+2}.$

По условию нужно решить  уравнение в целых числах. Последнее выражение показывает, что если x+2 является делителем 7, то  неизвестная y принимает целые значения.

Значит, выражение x+2 может принимать значения: ±1, ±7. Отсюда:

x+2 = –1 ⇒ х = –3 ⇒ у = 3·(–3)–5–7 = –21 ⇒ (х; у) = (–1; –21);

x+2 = 1 ⇒ х = –1 ⇒ у = 3·(–1)–5+7 = –1 ⇒ (х; у) = (1; –1);

x+2 = –7 ⇒ х = –9 ⇒ у = 3·(–9)–5–1 = –33 ⇒ (х; у) = (–7; –33);

x+2 = 7 ⇒ х = 5 ⇒ у = 3·5–5+1 = 11 ⇒ (х; у) = (7; 11).

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение в целых числах: \(3x^2 - xy + x - 2y = 3\).

Это уравнение содержит две переменные, \(x\) и \(y\), и является квадратичным по \(x\). Чтобы решить его, давайте попробуем выразить одну из переменных через другую.

Перепишем уравнение с учетом переменной \(y\): \[3x^2 - xy + x - 2y = 3.\]

Теперь попробуем выразить \(y\) через \(x\). Переносим все члены, не содержащие \(y\), на правую сторону уравнения: \[2y = 3x^2 - xy + x - 3.\]

Делим обе стороны на 2: \[y = \frac{3x^2 - xy + x - 3}{2}.\]

Теперь мы можем подставить это выражение для \(y\) обратно в исходное уравнение и попробовать упростить:

\[3x^2 - x\left(\frac{3x^2 - xy + x - 3}{2}\right) + x - 2\left(\frac{3x^2 - xy + x - 3}{2}\right) = 3.\]

Упрощаем выражение, умножая обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

\[6x^2 - x(3x^2 - xy + x - 3) + 2x - (3x^2 - xy + x - 3) = 6.\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[6x^2 - 3x^3 + x^2 - 2x + 2x - 3x^2 + x - 3 = 6.\]

Группируем подобные члены:

\[-3x^3 + 2x^2 - x - 3 = 6.\]

Теперь переносим все члены на одну сторону уравнения:

\[-3x^3 + 2x^2 - x - 9 = 0.\]

Это кубическое уравнение, и его решение в целых числах может быть достаточно сложным. Если у вас есть конкретные значения для \(x\) и \(y\), вы можете проверить, удовлетворяют ли они уравнению. Если у вас есть дополнительная информация или ограничения для переменных, это может упростить поиск целочисленных решений.