Question

Побудуйте график функции y= 3 +2x - x² Користуючись графіком, знайдіть: а) всі значення x, при яких функція набуває від’ємних значень; б) проміжок, на якому функція зростає.​

Answer 1

Ответ:

В решении.

Пошаговое объяснение:

побудуйте график функции y= 3 +2x - x²

Користуючись графіком, знайдіть:

а) всі значення x, при яких функція набуває від’ємних значень;

б) проміжок, на якому функція зростає.​

Постройте график функции y= 3 + 2x - x²;

у = -х² + 2х + 3;

График - парабола со смещённым центром, ветви направлены вниз.

Придать значения х, подставить в уравнение, вычислить у, записать в таблицу.

Таблица:

х  -2    -1     0     1      2     3     4

у  -5     0    3     4     3     0    -5

По вычисленным точкам построить параболу.

Используя график, найдите:

а) все значения x, при которых функция приобретает отрицательные значения;

у < 0 (график ниже оси Ох) при х∈(-∞; -1)∪(3; +∞);

б) промежуток, на котором функция возрастает.

Функция возрастает на промежутке х∈(-∞; 1).

Answer 2

Для побудови графіку функції \(y = 3 - 2x - x^2\), ми можемо використовувати різноманітні методи, такі як таблиця значень, використання основних властивостей функції та графічний підхід.

Давайте використаємо графічний підхід, оскільки це дозволяє найчіткіше представити поведінку функції.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Визначення функції
def func(x):
    return 3 - 2*x - x**2

# Створення масиву значень x
x_values = np.linspace(-3, 3, 400)  # вибираємо діапазон значень x

# Обчислення відповідних значень y
y_values = func(x_values)

# Побудова графіка
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x_values, y_values, label='y = 3 - 2x - x^2')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.title('Графік функції y = 3 - 2x - x^2')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.show()

Цей код генерує графік функції \(y = 3 - 2x - x^2\), який можна проаналізувати для відповіді на ваші питання.

а) Всі значення x, при яких функція набуває від’ємних значень:

З графіку видно, що функція набуває від'ємних значень на двох проміжках x. Один з них знаходиться ліворуч від вершини параболи, інший - праворуч від вершини. Таким чином, можемо записати:

\[ x \in (-\infty, a) \cup (b, +\infty) \]

де \( a \) та \( b \) - точки, де графік перетинає вісь x.

б) Проміжок, на якому функція зростає:

Функція зростає на тому проміжку x, де її перша похідна (по відношенню до x) дорівнює додатньому значенню. Друга похідна дорівнює -2, тобто вона від'ємна. Таким чином, функція зростає там, де перша похідна дорівнює 0, тобто на відрізку ліворуч від вершини параболи. Ми можемо визначити цей відрізок, прирівнявши першу похідну до 0:

\[ -2x - 2 = 0 \]

Отримаємо \( x = -1 \). Таким чином, функція зростає на проміжку \( x \in (-\infty, -1) \).