Question

1. Через первую трубу водоем можно наполнить за 8ч, а через вторую на 1 1/4 час быстрее, чем через первую. За сколько часов наполнится водоем при совместной работе этих труб?

Answer 1

Ответ:

Время совместного движения: 8/33 ч

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины: - Первая труба наполняет водоем за t часов. - Вторая труба наполняет водоем за (t - 5/4) часа (так как вторая труба быстрее на 1 1/4 часа).

Работа каждой трубы в единицу времени (1 час) будет обратно пропорциональна времени, которое каждая труба тратит на наполнение водоема. Таким образом, скорость работы первой трубы будет 1/t, а второй - 1/(t - 5/4).

Если обе трубы работают вместе, то их общая скорость будет суммой их индивидуальных скоростей: \[ \text{Скорость совместной работы} = \frac{1}{t} + \frac{1}{t - 5/4} \]

Согласно условию, эта совместная скорость равна 1/8 (потому что вместе они наполняют водоем за 8 часов): \[ \frac{1}{t} + \frac{1}{t - 5/4} = \frac{1}{8} \]

Для решения уравнения найдем общий знаменатель, умножим обе стороны на 8t(t - 5/4):

\[ 8t(t - 5/4) \left( \frac{1}{t} + \frac{1}{t - 5/4} \right) = 8t(t - 5/4) \cdot \frac{1}{8} \]

После упрощения получим:

\[ 8(t - 5/4) + 8t = t(t - 5/4) \]

Раскроем скобки:

\[ 8t - 10 + 8t = t^2 - \frac{5}{4}t \]

Сгруппируем все члены на одной стороне уравнения:

\[ t^2 - \frac{5}{4}t - 16t + 10 = 0 \]

\[ t^2 - \frac{69}{4}t + 10 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где у нас \( a = 1, b = -\frac{69}{4}, c = 10 \).

\[ t = \frac{\frac{69}{4} \pm \sqrt{\left(-\frac{69}{4}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} \]

\[ t = \frac{\frac{69}{4} \pm \sqrt{\frac{4761}{16} - 40}}{2} \]

\[ t = \frac{\frac{69}{4} \pm \sqrt{\frac{4761}{16} - \frac{640}{16}}}{2} \]

\[ t = \frac{\frac{69}{4} \pm \sqrt{\frac{4121}{16}}}{2} \]

\[ t = \frac{\frac{69}{4} \pm \frac{\sqrt{4121}}{4}}{2} \]

\[ t = \frac{69 \pm \sqrt{4121}}{8} \]

Таким образом, у нас есть два корня уравнения, и мы получаем два возможных значения для времени \( t \). Так как время не может быть отрицательным, мы отбросим корень с отрицательным знаком:

\[ t = \frac{69 + \sqrt{4121}}{8} \]

Теперь, подставив это значение обратно в исходное уравнение, мы можем найти время, за которое водоем наполнится при совместной работе обеих труб. Пожалуйста, используйте калькулятор для точных вычислений.