Question

Помогите решить пределы) без правила лопиталя!!!1.x->02.х->pi/3​

Answer 1

Ответ:

1. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

2. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Пошаговое объяснение:

1. $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{1-\cos{x^2}}}{1-\cos{x}}=\lim\limits_{x\to 0} \sqrt{\dfrac{1-\cos{x^2}}{(1-\cos{x})^2}}$

Поскольку функция квадратного корня непрерывна, её можно вынести за знак предела.

$\sqrt{\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1-\cos{x^2}}{(1-\cos{x})^2}}$

Поскольку аргументы косинусов стремятся к нулю, заменим функции на эквивалентные ($1-\cos{x}\sim\dfrac{x^2}{2}$):

$\sqrt{\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{(x^2)^2}{2}}{\left(\dfrac{x^2}{2}\right)^2}}=\sqrt{\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{x^4}{2}}{\dfrac{x^4}{4}}}=\sqrt{\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

2. Пусть $y=x-\dfrac{\pi}{3}$. Тогда $x=y+\dfrac{\pi}{3}$, а при $x\to\dfrac{\pi}{3}\ y\to 0$. Тогда, выполнив замену, получаем:

$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin{\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)}}{1-2\cos{x}}=\lim\limits_{y\to 0} \dfrac{\sin{y}}{1-2\cos{\left(y+\dfrac{\pi}{3}\right)}}=\lim\limits_{y\to 0} \dfrac{\sin{y}}{1-2\cdot\left(\dfrac{1}{2}\cos{y}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{y}\right)}=\\=\lim\limits_{y\to 0} \dfrac{\sin{y}}{1-\cos{y}+\sqrt{3}\sin{y}}$

Поскольку аргумент синуса и косинуса стремится к нулю, заменим функции на эквивалентные ($\sin{y}\sim y,1-\cos{y}\sim \dfrac{y^2}{2}$):

$\lim\limits_{y\to 0}\dfrac{y}{\dfrac{y^2}{2}+\sqrt{3}y}=\lim\limits_{y\to 0} \dfrac{2}{y+2\sqrt{3}}=\dfrac{2}{0+2\sqrt{3}}=\dfrac{2}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 2

Да, конечно! Я могу помочь вам с решением пределов. Для начала, давайте рассмотрим предел функции f(x) при x стремящемся к 0.2.

Предел функции f(x) при x стремящемся к 0.2 можно вычислить, используя арифметические операции и базовые предельные свойства. Однако, если вам не разрешено использовать правило Лопиталя, нам придется использовать другие методы.

Давайте рассмотрим предел функции f(x) = x при x стремящемся к 0.2. Мы можем выразить этот предел в виде:

lim(x->0.2) x

Для вычисления этого предела, мы можем использовать приближение с помощью численных методов или разложение в ряд Тейлора. Однако, давайте попробуем выразить этот предел в более простой форме.

Поскольку x подходит к 0.2, мы можем заменить x в пределе на 0.2:

lim(x->0.2) 0.2

Таким образом, предел функции f(x) при x стремящемся к 0.2 равен 0.2.

Теперь рассмотрим предел функции g(x) при x стремящемся к pi/3. Аналогично, мы можем записать этот предел в виде:

lim(x->pi/3) g(x)

Чтобы вычислить этот предел без использования правила Лопиталя, мы можем использовать различные методы, включая разложение в ряд Тейлора или численные методы.

Однако, если вам не разрешено использовать правило Лопиталя и вам не задана функция g(x), я не могу предоставить более конкретный ответ на этот вопрос. Если вы можете предоставить функцию g(x), я смогу помочь вам с вычислением предела.

Надеюсь, эта информация полезна для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, сообщите.