Question

А(-1;0),В(4;0),С(1;-2), найти: уравнение высотыАД,, уравнение прямой проходящей через параллельно ВС,, уравнение прямой соединяющей середины сторон АВ и ВС, угол А треугольника АВС

Answer 1

А(-1;0),В(4;0),С(1;-2), найти:

1) уравнение высоты АД.  

Высота АД – это перпендикуляр к стороне ВС.

Вектор ВС = (1-4; -2-0) = (-3; -2).

Уравнение прямой ВС: (х – 4)/(-3) = у/(-2) каноническое

                                      -2х + 8 = -3у

                                      2х - 3у – 8 = 0         общее.

Для прямой в общем виде Ax + By + C = 0 перпендикулярная прямая меняет коэффициенты А и В на –В и А (из условия, что их скалярное произведение равно 0).

Тогда уравнение перпендикулярной прямой к прямой ВС будет иметь вид:

3x + 2y + С = 0. Для определения слагаемого С подставим координаты точки А(-1; 0).

3*(-1) + 2*0 + C = 0, отсюда С = 3.

Ответ: 3x + 2y + 3 = 0.

2) уравнение прямой, проходящей через А параллельно ВС.

Коэффициенты при переменных у этой прямой такие же, как и у прямой ВС: 2х - 3у + С = 0. Подставим координаты точки А(-1; 0).

2*(-1) – 3*0 + С = 0, отсюда С = 2.

Получаем уравнение  2х - 3у + 2 = 0.

3) уравнение прямой, соединяющей середины сторон АВ и ВС.

Коэффициенты при переменных у этой прямой такие же, как и у прямой АС. Вектор АС = С(1;-2) - А(-1;0) = (2; -2).

Уравнение АС: (х + 1)/2 = у/(-2) или х + у + 1 = 0.

Найдём середину Д стороны АВ.

Д = (А(-1;0)+В(4;0))/2 = (1,5; 0).

Подставим координаты точки Д в уравнение прямой х + у + С = 0.

1,5 + 0 + С = 0, отсюда С = -1,5.

Уравнение х + у - 1,5 = 0 или в целых числах 2х + 2у - 3 = 0.

4) угол А треугольника АВС. А(-1;0),В(4;0),С(1;-2).

Находим векторы и их модули.

АВ = (4-(-1); 0-0) = (5; 0). |AB| = 5.

AC = (2; -2). |AC) = √(2² + (-2)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2.

Теперь находим косинус угла А.

cos A = (5*2 + 0*(-2))/(5*2√2) = 10/(10√2) = 1/√2.

Угол А = arccos(1/√2) = 45 градусов.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся несколькими свойствами треугольников.

Уравнение высоты АД

Высота треугольника АВС проведена из вершины А и перпендикулярна стороне ВС. Чтобы найти уравнение высоты АД, нам необходимо найти уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной стороне ВС.

1. Найдем уравнение прямой ВС. Для этого воспользуемся формулой наклона прямой:

Наклон прямой = (разность y-координат) / (разность x-координат)

Наклон прямой ВС: (0 - (-2)) / (4 - 1) = 2/3

2. Уравнение прямой ВС можно записать в виде:

y - y1 = m(x - x1)

Где (x1, y1) - координаты одной из точек на прямой ВС, а m - наклон прямой.

Подставим координаты точки С (1, -2):

y - (-2) = (2/3)(x - 1)

Упростим уравнение:

y + 2 = (2/3)x - 2/3

y = (2/3)x - 8/3

3. Так как высота АД перпендикулярна стороне ВС, то ее наклон будет обратным и противоположным:

Наклон высоты АД: -3/2

4. Уравнение высоты АД можно записать в виде:

y - y1 = m(x - x1)

Где (x1, y1) - координаты точки А, а m - наклон высоты.

Подставим координаты точки А (-1, 0):

y - 0 = (-3/2)(x - (-1))

y = (-3/2)x + 3/2

Уравнение высоты АД: y = (-3/2)x + 3/2

Уравнение прямой, проходящей параллельно ВС

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей параллельно стороне ВС, нам необходимо найти наклон этой стороны и использовать его для записи уравнения прямой.

1. Наклон стороны ВС равен наклону прямой ВС, который мы уже вычислили: 2/3.

2. Уравнение прямой, проходящей параллельно ВС, можно записать в виде:

y - y1 = m(x - x1)

Где (x1, y1) - координаты одной из точек на этой прямой, а m - наклон стороны ВС.

Подставим координаты точки В (4, 0):

y - 0 = (2/3)(x - 4)

y = (2/3)x - 8/3

Уравнение прямой, проходящей параллельно ВС: y = (2/3)x - 8/3

Уравнение прямой, соединяющей середины сторон АВ и ВС

Чтобы найти уравнение прямой, соединяющей середины сторон АВ и ВС, нам необходимо найти координаты середин этих сторон и использовать их для записи уравнения прямой.

1. Найдем координаты середины стороны АВ. Для этого вычислим среднее арифметическое от соответствующих координат:

x-координата середины стороны АВ: (-1 + 4) / 2 = 3/2

y-координата середины стороны АВ: (0 + 0) / 2 = 0

Таким образом, координаты середины стороны АВ равны (3/2, 0).

2. Найдем координаты середины стороны ВС. Аналогично, вычислим среднее арифметическое от соответствующих координат:

x-координата середины стороны ВС: (4 + 1) / 2 = 5/2

y-координата середины стороны ВС: (0 + (-2)) / 2 = -1

Таким образом, координаты середины стороны ВС равны (5/2, -1).

3. Уравнение прямой, соединяющей эти две точки, можно записать в виде:

y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)(x - x1)

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек, а (x, y) - переменные координаты прямой.

Подставим координаты середин сторон АВ и ВС:

y - 0 = (-1 - 0) / ((5/2) - (3/2))(x - (3/2))

y = -2x + 3

Уравнение прямой, соединяющей середины сторон АВ и ВС: y = -2x + 3

Угол А треугольника АВС

Для нахождения угла А треугольника АВС нам необходимо знать координаты вершин треугольника.

Угол между двумя векторами a(x1, y1) и b(x2, y2) равен:

Угол = arccos((x1 * x2 + y1 * y2) / (sqrt(x1^2 + y1^2) * sqrt(x2^2 + y2^2)))

Подставим координаты вершин А(-1, 0), В(4, 0) и С(1, -2):

a = (-1, 0) b = (4, 0) c = (1, -2)

Угол А будет равен:

Угол А = arccos(((b - a) * (c - a)) / (sqrt((b - a)^2) * sqrt((c - a)^2)))

Вычислим значения:

(b - a) = (4 - (-1), 0 - 0) = (5, 0) (c - a) = (1 - (-1), -2 - 0) = (2, -2) (b - a)^2 = (5^2, 0^2) = (25, 0) (c - a)^2 = (2^2, (-2)^2) = (4, 4)

Угол А = arccos(((5 * 2 + 0 * (-2)) / (sqrt(25) * sqrt(4))))

Упростим:

Угол А = arccos(10 / (5 * 2))

Угол А = arccos(1)

Так как значение arccos(1) равно 0 радиан, угол А треугольника