Question

При каком положительном значении а один корень уравнения 8х²-30х+а³=0 равен квадрату другого корня​

Answer 1

8х2 - 30х + а3 = 0; D1 = 302 - 4 * 8 * a3 = 900 - 32a3; x1 = (30 + √D1) / 16; x2 = (30 - √D1) / 16. Очевидно, что x1 > x2, значит x1 = (x2)2. (30 + √D1) / 16 = ((30 - √D1) / 16)2; (30 + √D1) / 16 = (30 - √D1)2 / 162; 16 * (30 + √D1) = (30 - √D1)2; 480 + 16√D1 = 900 + D1 - 60√D1; Введем обозначение t = √D1, получим: t2 - 76t + 420 = 0; D2 = 762 - 4 * 420 = 5776 - 1680 = 4096 = 642; t1 = (76 - 64) / 2 = 12 / 2 = 6; t2 = (76 + 64) / 2 = 140 / 2 = 70. t1 = √D1; √(900 - 32a3) = 6; 900 - 32a3 = 36; 32a3 = 900 - 36 = 864; a3 = 864 / 32 = 27; a1 = 3; t2 = √D1; √(900 - 32a3) = 70; 900 - 32a3 = 4900; 32a3 = 900 - 4900 = - 4000; a3 = - 4000 / 32 = - 125; a2 = - 5. Получаем, что один корень данного квадратного уравнения равен квадрату другого при а = 3 и а = - 5. Условию о положительности удовлетворяет лишь одно из значений а, равное 3. Ответ: а = 3.

Answer 2

Пусть один корень уравнения 8x² - 30x + a³ = 0 равен k. Тогда другой корень будет равен квадрату этого корня, то есть k².

Мы знаем, что для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 с корнями k₁ и k₂, сумма корней равна -b/a, а произведение корней равно c/a.

Применяя это знание к данному уравнению, получаем: k + k² = 30/8 k² + k - 30/8 = 0

Умножим уравнение на 8, чтобы избавиться от дроби: 8k² + 8k - 30 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

Дискриминант D данного уравнения равен: D = b² - 4ac D = (8)² - 4(8)(-30) D = 64 + 960 D = 1024

Так как дискриминант D положительный, у уравнения есть два различных действительных корня.

Используем формулу квадратного трехчлена: k = (-b ± √D) / (2a) k = (-8 ± √1024) / (2*8) k = (-8 ± 32) / 16

Таким образом, получаем два корня: k₁ = (-8 + 32) / 16 = 24 / 16 = 3/2 = 1.5 k₂ = (-8 - 32) / 16 = -40 / 16 = -5/2 = -2.5

Теперь нужно определить значение параметра а, при котором один корень равен квадрату другого корня.

Пусть k₁ = 1.5 и k₂ = -2.5. Тогда k₁² = (1.5)² = 2.25.

Таким образом, значение параметра а, при котором один корень уравнения равен квадрату другого корня, равно 2.25.