Question

#15  Найдите сумму всех различных значений функции f (x) = x² - 4x + 100, где число х может принимать значения от 1 до 100.A 32083   B 320853  C 32853  D 328053​

Answer 1

Поймем, при каких значениях функции найдутся два икса из рассматриваемого отрезка, которые это значения дают. То есть $x^2-4x+100-n$ имеет два целых корня из отрезка $[1,100]$. Сумма корней равна $4$, а потому либо меньший равен $1$ и тогда второй равен $3$, значит, $100-n=3 \Leftrightarrow n=97$, либо $2$ и тогда $100-n=4 \Leftrightarrow n=96$, однако в этом случае оба корня совпадают -- не подходит.

Считаем сумму: $\displaystyle f(x)= (x-2)^2+96 \Rightarrow \text{Sum} = \sum\limits_{x=1}^{100}(x-2)^2 + 96\cdot 100 - 97 = \\ = 1+0+\dfrac{98\cdot 99\cdot 197}{6} + 9600 -97 = 328053$

Answer 2

Для нахождения суммы всех различных значений функции f(x) = x² - 4x + 100, где x принимает значения от 1 до 100, мы должны вычислить значение функции для каждого x от 1 до 100 и затем сложить эти значения.

f(x) = x² - 4x + 100

Чтобы вычислить сумму всех значений, мы можем просто просуммировать значения функции для каждого x в указанном диапазоне.

Сумма = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(100)

Выполним вычисления:

f(1) = 1² - 4 * 1 + 100 = 1 - 4 + 100 = 97 f(2) = 2² - 4 * 2 + 100 = 4 - 8 + 100 = 96 f(3) = 3² - 4 * 3 + 100 = 9 - 12 + 100 = 97 ... f(100) = 100² - 4 * 100 + 100 = 10000 - 400 + 100 = 9610

Суммируем значения:

Сумма = 97 + 96 + 97 + ... + 9610

Чтобы упростить вычисления, мы можем заметить, что значения функции f(x) симметричны относительно x = 50. То есть, f(1) и f(100) равны, f(2) и f(99) равны и так далее. Поэтому мы можем просуммировать значения только до x = 50 и удвоить полученную сумму.

Сумма = 2 * (f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(50))

Теперь вычислим сумму:

Сумма = 2 * (97 + 96 + 97 + ... + 9610)

Чтобы найти сумму арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу:

Сумма = (количество членов / 2) * (первый член + последний член)

Количество членов = 50 (так как суммируем значения до x = 50) Первый член = 97 Последний член = 9610

Сумма = (50 / 2) * (97 + 9610) = 25 * 9707 = 242675

Удваиваем эту сумму:

Сумма = 2 * 242675 = 485350

Таким образом, сумма всех различных значений функции f(x) в указанном диапазоне равна 485350.

Ответ: B 320853