Question

В прямоугольном параллелепипеде площади трёх граней равны 16см в квадрате, 9см в квадрате и 25см в квадрате. Найдите его объём.

Answer 1

Ответ:

Объем параллелепипеда равен 60 см³.

Пошаговое объяснение:

Требуется найти объем прямоугольного параллелепипеда, если известны площади трех граней.

Дано:

S передней грани = 25 см²

S боковой грани  = 16 см²

S нижней грани = 9 см²

Найти: V.

Решение:

Обозначим длину, ширину и высоту параллелепипеда соответственно a, b, h.

• Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники.

Вспомним:

• Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон.

1. Рассмотрим данный параллелепипед.

• Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

• $\displaystyle \boxed { V=S\;_{OCH} *h}$

Основание - это нижняя грань.

Значит площадь основания 9 см².

Теперь найдем высоту.

2. Из формулы площади передней грани выразим a:

S пг = аh        

25 = аh

$\displaystyle \boxed { a=\frac{25}{h} }$

3. Из формулы площади боковой грани выразим b:

S бг = bh        

16 = bh

$\displaystyle \boxed { b=\frac{16}{h} }$

4. В формулу площади нижней грани подставим выше найденные значения а и b и найдем h:

S нг = аb

9 = ab

$\displaystyle 9=\frac{25}{h}*\frac{16}{h}\\ \\ 9=\frac{25*16}{h^2}$

Воспользуемся основным свойством пропорции:

• Произведение средних членов равно произведению крайних.

$\displaystyle 9h^2=25*16\\\\\displaystyle h^2=\frac{25*16}{9}\\ \\h=\frac{5*4}{3} \\\\h=\frac{20}{3}\;_{(CM)}$

5. Найдем объем параллелерипеда.

$\displaystyle V=9*\frac{20}{3}=60\;_{(CM^3)}$

Объем параллелепипеда равен 60 см³.

Answer 2

Для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда, необходимо знать площади трех его граней.

Пусть площади трех граней параллелепипеда равны 16 см², 9 см² и 25 см².

Площадь каждой грани параллелепипеда можно представить как произведение длины и ширины этой грани. Обозначим длину, ширину и высоту параллелепипеда через a, b и c соответственно.

Тогда у нас есть следующие уравнения:

ab = 16 (1) bc = 9 (2) ac = 25 (3)

Для нахождения объема параллелепипеда воспользуемся формулой:

V = abc

Возведем все уравнения в квадрат:

(a^2)(b^2) = 16² (b^2)(c^2) = 9² (a^2)(c^2) = 25²

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными a^2, b^2 и c^2.

Решим систему уравнений:

(a^2)(b^2) = 16² (1) (b^2)(c^2) = 9² (2) (a^2)(c^2) = 25² (3)

Разделим первое уравнение на второе:

(a^2)(b^2) / (b^2)(c^2) = (16²) / (9²)

Упростим выражение:

(a^2) / (c^2) = (16²) / (9²)

Теперь разделим третье уравнение на второе:

(a^2)(c^2) / (b^2)(c^2) = (25²) / (9²)

Упростим выражение:

(a^2) / (b^2) = (25²) / (9²)

Таким образом, получаем систему:

(a^2) / (c^2) = (16²) / (9²) (4) (a^2) / (b^2) = (25²) / (9²) (5)

Из уравнения (4) получаем:

(a^2) = (16²)(c^2) / (9²)

Из уравнения (5) получаем:

(a^2) = (25²)(b^2) / (9²)

Так как оба выражения равны (a^2), можно их приравнять:

(16²)(c^2) / (9²) = (25²)(b^2) / (9²)

Сократим общий множитель (9²):

(16²)(c^2) = (25²)(b^2)

Раскроем скобки:

256(c^2) = 625(b^2)

Теперь разделим оба выражения на (b^2):

(256(c^2)) / (b^2) = (625(b^2)) / (b^2)

Упростим выражение:

256(c^2) = 625

Разделим оба выражения на 256:

(c^2) = 625 / 256

Возведем оба выражения в квадрат:

c = sqrt(625 / 256)

Таким образом, мы нашли высоту параллелепипеда.

Теперь, зная значения a, b и c, можем найти объем параллелепипеда:

V = abc