Question

8sin^2x-10cosx-1=0 Помогите решить поэтапно,очень прошу

Answer 1

8sin^2(x)-10cos(x)-1=0

По основному тригонометрическому тождеству sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Отсюда: sin^2(x) =  1 - cos^2(x)

Подставим:
8(1 - cos^2(x) ) -10cos(x)-1=0

8 - 8*cos^2(x) - 10* cos(x) - 1 =0

- 8*cos^2(x) - 10* cos(x) + 7 =0

Домножим на (-1):

8*cos^2(x) + 10 * cos(x) - 7 =0

Заменим cos(x) на t, t ∈ (-1, 1)

8t^2 + 10t - 7 = 0

Решим квадратное уравнение используя дискриминант:

D = 10^2 - 4*8*(-7) = 100 + 224 = 324
√D = 18

Найдем корни, учитывая, что t ∈ (-1, 1):

t1 = (-10+18)/16 = 1/2

t2 = (-10-18)/16 = -7/4

t2 не подходит по условию. Сделаем обратную замену:

cos(x) = 1/2

x1 = π/3 + 2πk, k∈Z

x2 = 5π/3 + 2πn, n∈Z

Answer 2

Давайте решим уравнение поэтапно.

Шаг 1: Приведение квадратичного уравнения к стандартному виду

Уравнение, которое нам нужно решить, выглядит следующим образом: 8sin^2x - 10cosx - 1 = 0

Для начала, заменим sin^2x на 1 - cos^2x, используя тригонометрическую тождественность: 8(1 - cos^2x) - 10cosx - 1 = 0

Раскроем скобки: 8 - 8cos^2x - 10cosx - 1 = 0

Упорядочим члены: -8cos^2x - 10cosx + 7 = 0

Шаг 2: Замена переменной

Для удобства решения, заменим переменную cosx на t: -8t^2 - 10t + 7 = 0

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

Формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac

Для нашего уравнения: a = -8, b = -10, c = 7

Вычислим дискриминант: D = (-10)^2 - 4(-8)(7) = 100 + 224 = 324

Шаг 4: Решение уравнения

Теперь, исходя из значения дискриминанта, мы можем определить, какие решения имеет уравнение.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных рациональных решения. Если D = 0, то уравнение имеет одно рациональное решение кратности 2. Если D < 0, то уравнение не имеет рациональных решений.

В нашем случае, D = 324, что больше нуля, поэтому уравнение имеет два различных рациональных решения.

Шаг 5: Нахождение решений

Используем формулу для нахождения рациональных решений квадратного уравнения: t = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения: t = (-(-10) ± √324) / (2(-8)) t = (10 ± 18) / (-16)

Теперь найдем два значения t: t1 = (10 + 18) / (-16) = 28 / (-16) = -7/4 t2 = (10 - 18) / (-16) = -8 / (-16) = 1/2

Шаг 6: Возврат к исходной переменной

Теперь, когда у нас есть значения t, мы можем вернуться к исходной переменной cosx.

Для t1 = -7/4: cosx = -7/4

Для t2 = 1/2: cosx = 1/2

Шаг 7: Нахождение значений x

Теперь найдем значения x, используя обратные тригонометрические функции.

Для cosx = -7/4: x = arccos(-7/4)

Для cosx = 1/2: x = arccos(1/2)

Ответ

Таким образом, уравнение 8sin^2x - 10cosx - 1 = 0 имеет два решения: - x = arccos(-7/4) - x = arccos(1/2)

Пожалуйста, обратите внимание, что значения x могут быть выражены в радианах или градусах, в зависимости от требований задачи.