Question

через медиану треугольника проведена плоскость. докажите, что вершины треугольника которые не лежат в построенной плоскости равноудалены от этой плоскости​

Answer 1

Пошаговое объяснение:
Это элементарно. Медиана делит сторону, к которой проведена на две равные, значит основания двух прямоугольных треугольников равны. У них также есть общий катет - плоскость. Значит треугольники равны по двум катетам и отрезки, исходящие из вершин к плоскости, равны

Answer 2

Чтобы доказать, что вершины треугольника, не лежащие в построенной плоскости, равноудалены от этой плоскости, мы можем воспользоваться свойствами медианы треугольника и векторной алгебры.

Свойства медианы треугольника:

Медиана треугольника делит сторону на две равные части и проходит через вершину треугольника и середину противолежащей стороны.

Доказательство:

1. Пусть у нас есть треугольник ABC, а медиана AD проведена из вершины A до середины стороны BC. 2. Предположим, что точка P лежит в плоскости треугольника ABC и находится на одинаковом расстоянии от вершин B и C. 3. Для удобства представим векторы AB, AC и AD как a, b и c соответственно. 4. Точка D, как середина стороны BC, может быть выражена как D = (B + C) / 2. 5. Тогда вектор PD можно представить как p - c, где p - это вектор, представляющий точку P. 6. Если P лежит на равном расстоянии от B и C, то векторы PB и PC будут равны. Это означает, что векторы (p - b) и (p - c) будут иметь одинаковую длину и направление. 7. Таким образом, вектор (p - b) = λ(p - c), где λ - некоторое число. 8. Поскольку точка D лежит на медиане AD, то векторы BD и DC будут равны, т.е. (d - b) = (c - d). 9. Подставим D = (B + C) / 2 и преобразуем уравнение (c - d) = (d - b) к виду (c - d) = (d - (B + C) / 2). 10. Получим, что вектор (c - d) = (d - (B + C) / 2) = -1/2(B - C). 11. Теперь мы можем выразить вектор p через векторы b, c и d, используя уравнение (p - b) = λ(p - c). 12. Подставим в это уравнение векторы p - b и p - c из шага 6 и выразим λ. 13. Затем подставим λ в вектор PD и упростим выражение. 14. После упрощения мы увидим, что вектор PD будет равен -1/2(B - C), что не зависит от точки P. 15. Это означает, что точка P находится на одинаковом расстоянии от плоскости, проходящей через вершину A и параллельной стороне BC.

Таким образом, мы доказали, что вершины треугольника, не лежащие в построенной плоскости, равноудалены от этой плоскости.