Question

найти НОД числа, десятичная запись которого состоит из 100 единиц и числа запись которого состоит из 60 единиц​

Answer 1

Будем пользоваться тем, что $\gcd(a,b) = \gcd(a-b,b),\; a\geq b$, поэтому $\gcd(\underbrace{1\ldots1}_{100},\underbrace{1\ldots1}_{60}) = \gcd(10^{60}\cdot\underbrace{1\ldots1}_{40},\;\underbrace{1\ldots1}_{60})$. Поскольку числа из единиц взаимно просты со степенями десяти (поскольку ни на $2$, ни на $5$ числа такого вида не делятся), то на степень десятки можно <<забить>>, получив $\gcd(\underbrace{1\ldots1}_{40},\underbrace{1\ldots1}_{60})$. Ну а теперь ясно, куда это движется, остается вычислить НОД $40$ и $60$: $\gcd(\underbrace{1\ldots1}_{100},\underbrace{1\ldots1}_{60}) = \underbrace{1\ldots1}_{\gcd(40,60)} = \underbrace{1\ldots1}_{20}$. Вообще, в самом общем виде $\gcd(\underbrace{1\ldots1}_{x},\underbrace{1\ldots1}_{y}) = \underbrace{1\ldots1}_{\gcd(x,y)}$.  

Answer 2

Finding the Greatest Common Divisor (GCD) of Two Numbers

To find the greatest common divisor (GCD) of two numbers, we can use the Euclidean algorithm. The Euclidean algorithm is based on the principle that the GCD of two numbers does not change if the larger number is replaced by its difference with the smaller number. Let's find the GCD of the numbers with decimal representations consisting of 100 and 60 ones.

The decimal representation of a number consisting of 100 ones is 111...1 (100 ones), and the decimal representation of a number consisting of 60 ones is 111...1 (60 ones).

Using the Euclidean algorithm, we can find the GCD of these two numbers.

Euclidean Algorithm Steps: 1. Divide the larger number by the smaller number. 2. Replace the larger number with the remainder of the division. 3. Repeat the process until the remainder is 0. The divisor at this step is the GCD.

Let's calculate the GCD using the Euclidean algorithm.

Calculation Using Euclidean Algorithm

1. GCD(111...1 (100 ones), 111...1 (60 ones)) 2. GCD(10^100 - 1, 10^60 - 1)

Now, let's calculate the GCD using the Euclidean algorithm.

GCD Calculation: - GCD(10^100 - 1, 10^60 - 1) - GCD(10^60 - 1, (10^40)(10^20) - 1) - GCD(10^40 - 1, (10^20)(10^20) - 1) - GCD(10^20 - 1, (10^20)(10^0) - 1) - GCD(10^20 - 1, 10^0 - 1) - GCD(10^0 - 1, 0) - GCD(1 - 1, 0) - GCD(0, 0)

The GCD of the numbers with decimal representations consisting of 100 and 60 ones is 0.

This calculation is based on the Euclidean algorithm, which is a proven method for finding the GCD of two numbers.

Answer 3

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел с такими большими количествами цифр удобно воспользоваться алгоритмом Евклида.

Для чисел, записанных в десятичной системе счисления, алгоритм Евклида можно применить следующим образом:

1. Представим оба числа в виде их разности: большее число минус меньшее число.

2. Повторяем этот процесс, пока оба числа не станут равными.

3. Полученное число и будет являться НОД исходных чисел.

Теперь применим этот алгоритм к нашей задаче:

Для числа, записанного из 100 единиц, мы можем представить его как 10^100 - 1. Для числа, записанного из 60 единиц, мы можем представить его как 10^60 - 1.

Теперь мы можем применить алгоритм Евклида, чтобы найти НОД этих двух чисел.

Представим числа в виде их разности: 10^100 - 1 - (10^60 - 1) = 10^60 * (10^40 - 1)

Теперь повторим этот процесс для чисел 10^60 и 10^40 - 1: 10^60 - (10^40 - 1) = 10^40 * (10^20 - 1)

И, наконец, для чисел 10^40 и 10^20 - 1: 10^40 - (10^20 - 1) = 10^20 * (10^20 - 1)

Теперь мы видим, что оба числа равны 10^20 - 1, следовательно, НОД чисел, записанных из 100 и 60 единиц, равен 10^20 - 1.

Таким образом, НОД числа, записанного из 100 единиц, и числа, записанного из 60 единиц, равен 10^20 - 1.