Question

Log0,9(х − 5) ≥ log0,9 11 розвязати нерівність

Answer 1

Ответ:

$x \in (5; 16]$

Пошаговое объяснение:

ОДЗ:  $x - 5 > 0 \Rightarrow x > 5$

$\log_{0{,}9} (x-5) \geq \log_{0{,}9}11$

Так как $0 < 0{,}9 < 1$, то знак неравенства меняется

$x-5 \leq 11 \Rightarrow x \leq 16$

В итоге имеем систему

$\begin{cases}x > 5 \\x \leq 16\end{cases}\Rightarrow5 < x \leq 16$

Или $x \in (5; 16]$

Answer 2

Для розв'язання нерівності потрібно спочатку переписати її у еквівалентній формі, використовуючи властивості логарифмів. Давайте розглянемо кожен член нерівності окремо.

Логарифми з основою 0,9 мають певні властивості, зокрема:

1. log_a(x * y) = log_a(x) + log_a(y) (логарифм добутку) 2. log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y) (логарифм ділення) 3. log_a(x^k) = k * log_a(x) (логарифм степеня)

Застосувавши ці властивості, ми можемо переписати нерівність:

log0,9(х + 5) + log0,9(11) ≥ log0,9(11)

Зверніть увагу, що я замінив різницю у знаку "+" на добуток у знаку "*". Це робиться, оскільки log0,9 (х + 5) - це логарифм бази 0,9 від (х + 5), а не від (х - 5).

Тепер ми можемо застосувати ще одну властивість логарифмів:

4. log_a(x) + log_a(y) = log_a(x * y)

Це дозволяє нам об'єднати два логарифми в один:

log0,9((х + 5) * 11) ≥ log0,9(11)

Тепер ми можемо використати властивість, зворотну до логарифмів:

5. log_a(x) ≥ log_a(y) еквівалентно x ≥ y

Застосовуючи цю властивість, ми отримуємо:

(х + 5) * 11 ≥ 11

Тепер ми можемо розв'язати цю рівність:

11х + 55 ≥ 11

11х ≥ 11 - 55

11х ≥ -44

х ≥ -44 / 11

х ≥ -4

Таким чином, розв'язком початкової нерівності є х ≥ -4.