Question

3+4cos2x+cos4x=8cos^4x​

Answer 1

Ответ:

привет!

Пошаговое объяснение:

$3 + 4cos2x + cos4x = 8cos {}^{4x} \\ 3 + 8osxc + 4osxc = 8o {s}^{4x} c \\ 3 + 12osxc = {8os}^{4x} c \\ 12osxc - {8os}^{4x} c = - 3 \\ (12osx - 8o {s}^{4x} )c = - 3 \\ c = - \frac{3}{12osx - 8os {}^{4x} }$

Answer 2

Данное уравнение, 3 + 4cos(2x) + cos(4x) = 8cos^4(x), является тригонометрическим уравнением, которое может быть решено с использованием соответствующих тригонометрических идентичностей и свойств.

Давайте попробуем разложить данное уравнение на более простые части и решить его поэтапно.

Шаг 1: Используем тригонометрические идентичности

Для начала, воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Теперь, заменим cos(2x) в исходном уравнении:

3 + 4(2cos^2(x) - 1) + cos(4x) = 8cos^4(x)

Далее, воспользуемся формулой двойного угла для косинуса еще раз:

cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1

Теперь, заменим cos(4x) в уравнении:

3 + 4(2cos^2(x) - 1) + 2cos^2(2x) - 1 = 8cos^4(x)

Шаг 2: Упрощение уравнения

Упростим выражение, раскрыв скобки и собрав одинаковые члены:

3 + 8cos^2(x) - 4 + 2cos^2(2x) - 1 = 8cos^4(x)

6cos^2(x) + 2cos^2(2x) - 2 = 8cos^4(x)

Шаг 3: Приведение уравнения к одной переменной

Для удобства решения, приведем данное уравнение к одной переменной. Заметим, что у нас присутствуют две переменные: x и 2x. Используя формулу двойного угла для косинуса, мы можем преобразовать cos^2(2x) в выражение, содержащее только x:

cos^2(2x) = (1 + cos(4x))/2

Подставим это выражение в уравнение:

6cos^2(x) + 2(1 + cos(4x))/2 - 2 = 8cos^4(x)

6cos^2(x) + 1 + cos(4x) - 2 = 8cos^4(x)

6cos^2(x) - 1 + cos(4x) = 8cos^4(x)

Шаг 4: Приведение уравнения к квадратному виду

Чтобы свести данное уравнение к квадратному виду, введем новую переменную t = cos(x). Тогда наше уравнение примет вид:

6t^2 - 1 + cos(4x) = 8t^4

Мы знаем, что cos(4x) можно представить через t, используя формулу двойного угла:

cos(4x) = 8t^4 - 6t^2 + 1

Подставим это выражение в уравнение:

6t^2 - 1 + 8t^4 - 6t^2 + 1 = 8t^4

Шаг 5: Упрощение и решение уравнения

Упростим выражение и соберем одинаковые члены:

8t^4 - 6t^2 + 8t^4 - 6t^2 = 0

16t^4 - 12t^2 = 0

4t^2(4t^2 - 3) = 0

Теперь, решим полученное уравнение. У нас есть два возможных случая:

1) 4t^2 = 0:

Если 4t^2 = 0, то это означает, что t = 0. Подставив это значение обратно в уравнение t = cos(x), мы получаем cos(x) = 0. Это означает, что x = π/2 + πk, где k - целое число.

2) 4t^2 - 3 = 0:

Решим это квадратное уравнение:

4t^2 - 3 = 0

(2t)^2 - 3 = 0

(2t - √3)(2t + √3) = 0

Таким образом, мы получаем два значения:

2t - √3 = 0 => t = √3/2 => cos(x) = √3/2 => x = π/6 + 2πk, где k - целое число.

2t + √3 = 0 => t = -√3/2 => cos(x) = -√3/2 => x = 11π/6 + 2πk, где k - целое число.

Ответ:

Таким образом, решениями данного уравнения являются следующие значения для x:

1) x = π/2 + πk, где k - целое число.

2) x = π/6 + 2πk, где k - целое число.

3) x = 11π/6 + 2πk, где k - целое число.

Пожалуйста, обратите внимание, что это лишь общие решения, и уравнение может иметь дополнительные решения в зависимости от заданных ограничений на переменные.