Question

Найти точку минимума функции y = x^x

Answer 1

Ответ:   $x=\dfrac{1}{e}$  .

$y=x^{x}\ \ \Rightarrow \ \ \ y=\Big(e^{lnx}\Big)^{x}\ \ ,\ \ y=e^{x\cdot lnx}\ \ ,\ \ x > 0\ ;\\\\{}\ \ \ (a^{u})'=a^{u}\cdot lna\cdot u'\\\\y'=e^{x\cdot lnx}\cdot (x\cdot lnx)'=e^{x\cdot lnx}\cdot (x'\cdot lnx+x\cdot (lnx)')=e^{x\cdot lnx}\cdot (lnx+x\cdot \dfrac{1}{x})=\\\\=e^{x\cdot lnx}\cdot (lnx+1)$

Найдём стационарные (критические) точки.

$y'=0\ \ \to \ \ \ \underbrace{e^{x\cdot lnx}}_{ > 0}\cdot (lnx+1)=0\ \ \to \ \ lnx=-1\ \ ,\ \ x=e^{-1}=\dfrac{1}{e}$  

Знаки  y':

 $(0)---(\frac{1}{e})+++++\\{}\qquad \ \searrow \ \ \, (\frac{1}{e})\ \ \nearrow$

Так как производная меняет знак c минуса на плюс, то имеем точку минимума   $x=\dfrac{1}{e}$  .

Answer 2

Ответ: 1/е

Пошаговое объяснение:

ОДЗ х∈(0;+∞);

прологарифмируем обе части, они положительны, ㏑у=㏑(x^x);

㏑у=х㏑(x);

возьмем производную от обеих частей.

у'/y=㏑x+x/x

y'=(㏑x+1)*y;

y'=(㏑x+1)*(x^x); x^x≠0;

y'=0, если ㏑x+1=0, ㏑x=-1⇒х=е⁻¹; х=1/е

установим знаки, при переходе через критическую точку 1/е;

___0_____1/е_______________________

           -                                     +

поэтому х=1/е- точка минимума.

         

Answer 3

Функция y = x^x представляет собой возведение числа x в степень самого себя. Чтобы найти точку минимума этой функции, необходимо найти значение x, при котором функция достигает наименьшего значения.

Методы определения точки минимума функции

Существует несколько методов для определения точки минимума функции. Некоторые из них включают дифференцирование функции и нахождение ее экстремумов, а другие методы основаны на численных алгоритмах оптимизации.

Дифференцирование функции

Один из способов найти точку минимума функции - это дифференцирование функции и нахождение ее экстремумов. Для этого необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю, чтобы найти значения x, при которых функция имеет экстремумы. Однако, в данном случае функция y = x^x не имеет простого аналитического выражения для производной, поэтому этот метод может быть сложным для применения.

Численные методы оптимизации

Другой способ найти точку минимума функции - это использование численных методов оптимизации. Эти методы позволяют найти приближенное значение точки минимума функции, используя итерационные алгоритмы. Один из таких методов - метод Ньютона-Рафсона, который использует производные функции для приближенного нахождения точки минимума. Однако, для применения этого метода также требуется знание производной функции, которая в данном случае может быть сложной для вычисления.

Вывод

Найти точку минимума функции y = x^x может быть сложной задачей, так как функция не имеет простого аналитического выражения для производной. Для определения точки минимума можно использовать методы дифференцирования функции или численные методы оптимизации. Однако, для применения этих методов требуется более подробное изучение функции и ее свойств.