Question

Автопереход Даша играла с пуговицами. Когда она попыталась разделить их на 3 равные кучки, осталась 1 пуговица. Тогда она попыталась поделить все эти пуговицы на 5 равных кучек, но осталось 4 пуговицы. Какое наименьшее количество пуговиц надо добавить, чтобы все пуговицы можно было разложить поровну и на 3 кучки, и на 5 кучек?

Answer 1

Ответ:

Даше нужно добавить 11 пуговиц, чтобы их общее число делилось и на 3 и на 5.

Объяснение:

Даша играла с пуговицами. Когда она попыталась разделить их на 3 равные кучки, осталась 1 пуговица. Тогда она попыталась поделить все эти пуговицы на 5 равных кучек, но осталось 4 пуговицы. Какое наименьшее количество пуговиц надо добавить, чтобы все пуговицы можно было разложить поровну и на 3 кучки, и на 5 кучек?

1) Общее число пуговиц делится с остатком на 3.

Пусть при делении количества пуговиц на 3 получается в частном число x.

Тогда всего пуговиц 3x + 1.

Пусть при делении количества пуговиц на 5 получается в частном число y.

Тогда всего пуговиц 5y + 4.

Эти количества равны.

3x + 1 = 5y + 4.

2) Выразим одну переменную через другую.

3x + 1 = 5y + 4;

3x = 5y + 4 - 1;

3x = 5y + 3;

$\displaystyle x = \frac{5y+3}{3} =\frac{5y}{3} +\frac{3}{3} =\frac{5y}{3} +1.$

3) Видим, что число 5y делится на 3, а значит y делится на 3.

Наименьшее целое положительное число, которое делится на 3 - это число 3.

Тогда y = 3.

$\displaystyle x =\frac{5 \cdot 3}{3} +1 = 5 + 1 =6.$

x = 6.

y = 3.

Всего пуговиц у Даши 19.

3 · 6 + 1 = 19

или

5 · 3 + 4 = 19.

4) Сколько пуговиц нужно добавить, чтобы их число делилось и на 3 и на 5?

Если мы добавим еще пуговицы, то их будет больше 19.

Ближайшее число, которое больше 19 и делится на 3 и на 5 - это число 30.

30 - 19 = 11 пуговиц.

Нужно добавить 11 пуговиц.

Answer 2

Problem Analysis

To solve this problem, we need to find the minimum number of buttons that need to be added to the existing number of buttons so that they can be evenly divided into 3 and 5 equal piles.

Solution

Let's denote the total number of buttons as x. We are given that when Dasha tried to divide the buttons into 3 equal piles, there was 1 button left, and when she tried to divide them into 5 equal piles, there were 4 buttons left.

We can represent these conditions with the following equations: 1. x ≡ 1 (mod 3) (There is 1 button left when divided into 3 equal piles) 2. x ≡ 4 (mod 5) (There are 4 buttons left when divided into 5 equal piles)

To find the minimum number of buttons that need to be added, we can use the Chinese Remainder Theorem (CRT) to solve these congruences.

Chinese Remainder Theorem (CRT)

The Chinese Remainder Theorem states that if we have a system of congruences of the form: x ≡ a1 (mod n1) x ≡ a2 (mod n2) ... x ≡ ak (mod nk)

Where n1, n2, ..., nk are pairwise coprime (i.e., their greatest common divisor is 1), then there exists a unique solution modulo N = n1 * n2 * ... * nk.

The solution can be found using the formula: x = Σ(ai * Ni * xi) mod N Where Ni = N / ni, and xi is the modular multiplicative inverse of Ni modulo ni.

Applying CRT to the Problem

In this case, we have: - a1 = 1, n1 = 3 - a2 = 4, n2 = 5

We can apply the Chinese Remainder Theorem to find the minimum number of buttons that need to be added to satisfy both conditions.

Let's calculate the values of N, N1, N2, x1, and x2: - N = n1 * n2 = 3 * 5 = 15 - N1 = N / n1 = 15 / 3 = 5 - N2 = N / n2 = 15 / 5 = 3 - x1 ≡ N1^(-1) (mod n1) = 2 - x2 ≡ N2^(-1) (mod n2) = 2

Now, we can find the solution using the CRT formula: x = (1 * 5 * 2 + 4 * 3 * 2) mod 15 = (10 + 24) mod 15 = 34 mod 15 = 4

Conclusion

The minimum number of buttons that need to be added to the existing number of buttons so that they can be evenly divided into 3 and 5 equal piles is 4.