Question

Найти интегралы (3x^2-1)^2dx

Answer 1

пошаговое решение представлено на фото

Answer 2

Для того чтобы найти интеграл от выражения (3x^2-1)^2dx, мы можем использовать метод подстановки или метод разложения на множители.

Метод подстановки

Давайте начнем с метода подстановки. Обозначим (3x^2-1) за u. Тогда мы можем записать dx в виде производной от u, то есть dx = du/(6x).

Теперь заменим dx и (3x^2-1) в интеграле на u и du/(6x), соответственно:

∫(3x^2-1)^2dx = ∫u^2 * (du/(6x))

Мы можем вынести константу 1/6 из-под интеграла:

(1/6) * ∫u^2 * (du/(x))

Теперь мы можем поделить u^2 на x:

(1/6) * ∫(u^2/x) * du

Теперь интегрируем от (u^2/x) с помощью степенного правила для интеграла:

= (1/6) * ∫u^2 * x^(-1) du

= (1/6) * ∫u^2/x du

Теперь мы можем интегрировать u^2/x, считая x константой:

= (1/6) * x^(-1) * ∫u^2 du

Мы можем интегрировать u^2 по отдельности:

= (1/6) * x^(-1) * (u^3/3) + C

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной x, заменив u на (3x^2-1):

= (1/6) * x^(-1) * ((3x^2-1)^3/3) + C

Это будет окончательный ответ, где C - произвольная постоянная.