Question

3. В трапеции АВСD с основаниями АD и ВС угол ВAD острый. Найдите сумму длин оснований этой трапеции, если известно, что B1D=1 и АС1=2, где В1, и С1 - основания перпендикуляров к прямой AD, проведённых из точек В и С соответственно.

Answer 1

Ответ:Углы В и С равны соответственно 115° и 155° (дано). Значит углы А и D трапеции равны соответственно 180°-115°=65° и 180°-155°=25°.

То есть углы при основании трапеции в сумме равны 65°+25°=90°.

Продлим стороны АВ и DC трапеции до их пересечения в точке Е.

Тогда треугольники АЕD и подобный ему ВЕС (ВС параллельна AD) - прямоугольные, так как <Е=90° (180°-90°).

В прямоугольном треугольнике ВЕС катет ВЕ=ВС*Cos65° (так как <CBE=<DAE). По таблице Cos65° ≈ 0,423. Тогда ВЕ=4,2.

Проведем перпендикуляр ОК к стороне АВ трапеции. Это серединный перпендикуляр, так как О - центр окружности, а АВ - ее хорда. КВ=АВ/2=7.

Итак, фигура ОКЕР - прямоугольник (ОР - радиус в точку касания, ОК - серединный перпендикуляр, а <КЕР=90°).

Искомый радиус ОР равен стороне КЕ=КВ+ВЕ = 7+4,2=11,2.

Ответ: искомый радиус окружности равен 11,2.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора.

Пусть AB = a, BC = b, CD = c и AD = d. Так как угол ВAD острый, то мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ВАD:

BD^2 + AB^2 = AD^2

Из условия задачи известно, что BD = 1, поэтому мы можем записать уравнение:

1 + a^2 = d^2 ...(1)

Также из условия задачи известно, что AC1 = 2, и поскольку АС1 и В1С1 являются перпендикулярами к прямой AD, то треугольник ВС1D прямоугольный. Мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ВС1D:

BD^2 + BC^2 = CD^2

1 + b^2 = c^2 ...(2)

Сумма длин оснований трапеции равна a + c. Нам нужно выразить a и c через известные данные.

Из уравнения (1) получаем:

a^2 = d^2 - 1

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение (2):

1 + (d^2 - 1) = c^2

d^2 = c^2

Так как d > c, то мы можем сделать вывод, что d = c.

Теперь мы можем выразить a и c через известные данные:

a = √(d^2 - 1)

c = √(d^2)

Таким образом, сумма длин оснований трапеции равна:

a + c = √(d^2 - 1) + √(d^2)

Ответом на задачу будет выражение √(d^2 - 1) + √(d^2).