Question

Общее решение дифференциального уравнения y''+2y'+5y=4sinx+22cosx

Answer 1

$y''+2y'+5y=4\sin x+22\cos x$

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде суммы общего решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному, и частного решения данного неоднородного дифференциального уравнения.

1. Составим и решим однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

$y''+2y'+5y=0$

Рассмотрим характеристическое уравнение:

$\lambda^2+2\lambda+5=0$

$D_1=1^2-1\cdot5=-4$

$\lambda=-1\pm2i$

Общее решение однородного дифференциального уравнения:

$Y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)$

2. Частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения ущем в виде:

$\overline{y}=A\sin x+B\cos x$

Тогда:

$\overline{y}'=A\cos x-B\sin x$

$\overline{y}''=-A\sin x-B\cos x$

Подставим соотношения в исходное уравнение:

$-A\sin x-B\cos x+2(A\cos x-B\sin x)+5(A\sin x+B\cos x)=4\sin x+22\cos x$

$-A\sin x-B\cos x+2A\cos x-2B\sin x+5A\sin x+5B\cos x=4\sin x+22\cos x$

$-A\sin x-2B\sin x+5A\sin x-B\cos x+2A\cos x+5B\cos x=4\sin x+22\cos x$

$(-A-2B+5A)\sin x+(-B+2A+5B)\cos x=4\sin x+22\cos x$

$(4A-2B)\sin x+(2A+4B)\cos x=4\sin x+22\cos x$

Получим систему:

$\begin{cases} 4A-2B=4 \\ 2A+4B=22 \end{cases}$

$\begin{cases} 2A-B=2 \\ A+2B=11 \end{cases}$

Выражаем В из первого уравнения:

$B=2A-2$

Подставляем во второе уравнение:

$A+2(2A-2)=11$

$A+4A-4=11$

$5A=15$

$A=3$

$B=2\cdot3-2=4$

Значит:

$\overline{y}=3\sin x+4\cos x$

3. Составляем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

$y=Y+\overline{y}$

$\boxed{y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)+3\sin x+4\cos x}$

Answer 2

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение второго порядка, мы можем использовать метод вариации постоянных. Предположим, что решение имеет вид y = Asin(x) + Bcos(x), где A и B - неизвестные постоянные.

1. Вычислим первую и вторую производные решения: y' = Acos(x) - Bsin(x) y'' = -Asin(x) - Bcos(x)

2. Подставим полученные значения в исходное уравнение: (-Asin(x) - Bcos(x)) + 2*(Acos(x) - Bsin(x)) + 5*(Asin(x) + Bcos(x)) = 4sin(x) + 22cos(x)

3. Проведем сбор подобных термов: (A + 2B - 5A)sin(x) + (-B + 2A + 5B)cos(x) = 4sin(x) + 22cos(x)

4. Выразим коэффициенты при синусе и косинусе отдельно: (2B - 4A)*sin(x) + (2A + 4B - 22)*cos(x) = 0

5. Поскольку это должно выполняться для всех значений x, коэффициенты при синусе и косинусе должны быть равны нулю: 2B - 4A = 0 2A + 4B - 22 = 0

6. Решим полученную систему уравнений: 2B - 4A = 0 => B = 2A 2A + 4B - 22 = 0 => 2A + 4(2A) - 22 = 0 => 10A - 22 = 0 => 10A = 22 => A = 2.2

7. Найдем значение B: B = 2A = 2 * 2.2 = 4.4

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения y'' + 2y' + 5y = 4sin(x) + 22cos(x) имеет вид: y = 2.2sin(x) + 4.4cos(x)

Это общее решение уравнения.