Question

Дослідити на екстремум функцію y=3x+6y-x^2-xy+y^2

Answer 1

Ответ:

ymax=y(M)=18-9=9

Пошаговое объяснение:

∂z/∂x=3-2x-y ; ∂z/∂y=6-x-2y ; 3-2x-y=0 ; 6-x-2y=0 ; x=0 ; y=3 ; M(0,3)-критическая точка. A= ∂²y/∂x²=-2 ;

Answer 2

Щоб дослідити функцію на екстремум, нам потрібно знайти її часткові похідні по змінним x та y і вирішити систему рівнянь, що складається з цих похідних, рівних нулю.

Спочатку знайдемо часткову похідну за x. Для цього диференціюємо функцію y=3x+6y-x^2-xy+y^2 по x, та тримаємо y як константу:

∂y/∂x = 3 - 2x - y.

Далі знайдемо часткову похідну за y. Диференціюємо функцію y=3x+6y-x^2-xy+y^2 по y, тримаємо x як константу:

∂y/∂y = 6 - x + 2y.

Потім ставимо обидві частини рівнянь рівними нулю і вирішуємо систему:

3 - 2x - y = 0, 6 - x + 2y = 0.

Розв'язавши цю систему рівнянь, ми знайдемо значення x та y, які задовольняють цим умовам. Ці значення x та y будуть координатами критичної точки функції, в якій можуть бути локальні екстремуми (максимум або мінімум).

Прослідкуємо за розв'язком системи рівнянь:

3 - 2x - y = 0 --> y = 3 - 2x, (1) 6 - x + 2y = 0 --> 6 - x + 2(3 - 2x) = 0 --> 6 - x + 6 - 4x = 0 --> -5x + 12 = 0 --> -5x = -12 --> x = 12/5 --> x = 2.4.

Підставимо знайдене значення x у (1):

y = 3 - 2(2.4) = 3 - 4.8 = -1.8.

Таким чином, критична точка функції знаходиться при (x, y) = (2.4, -1.8).

Після знаходження критичної точки, можна використати другі похідні, щоб визначити, чи ця точка є максимумом чи мінімумом. Однак,