Question

Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4, -3, 1); В(5, -2, 3); С(1,0, -4). Найти косинус угла АВС.

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника АВС:

А(4, -3, 1); В(5, -2, 3); С(1,0, -4). Найти косинус угла АВС.

Находим векторы:

ВА  = (4-5; -3-(-2); 1-3) = (-1; -1; -2), его модуль равен √(1+1+4) = √6.

ВС  = (1-5; 0-(-2); -4-3) = (-4; 2; -7), его модуль равен √(16+4+49) = √69.

Находим cos B = ((-1)*(-4)+(-1)*2+(-2)*(-7))/( √6*√69) = 16/(3√46) ≈ 0,786357.

Угол В = 0,665906 радиан или 38,153632 градуса.

Answer 2

Чтобы найти косинус угла АВС, мы можем использовать формулу косинуса для треугольников:

cos(угол АВС) = (AB·AC) / (|AB|·|AC|),

где AB - вектор, соединяющий точки A и B, AC - вектор, соединяющий точки A и C, · обозначает скалярное произведение, а |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC соответственно.

Давайте вычислим значения, используя указанные координаты:

AB = B - A = (5, -2, 3) - (4, -3, 1) = (5 - 4, -2 - (-3), 3 - 1) = (1, 1, 2), AC = C - A = (1, 0, -4) - (4, -3, 1) = (1 - 4, 0 - (-3), -4 - 1) = (-3, 3, -5).

Теперь найдем длины векторов AB и AC:

|AB| = sqrt(1^2 + 1^2 + 2^2) = sqrt(1 + 1 + 4) = sqrt(6), |AC| = sqrt((-3)^2 + 3^2 + (-5)^2) = sqrt(9 + 9 + 25) = sqrt(43).

Теперь найдем скалярное произведение AB·AC:

AB·AC = 1*(-3) + 13 + 2(-5) = -3 + 3 - 10 = -10.

Теперь можем вычислить косинус угла АВС:

cos(угол АВС) = (-10) / (sqrt(6) * sqrt(43)).

Таким образом, косинус угла АВС равен -10 / (sqrt(6) * sqrt(43)).