Question

Дима написал на доске 110 различных натуральных чисел. Затем он некоторые числа умножил на 2, некоторые на 3. а остальные - на 5. Какое наименьшее количество различных чисел может быть среди 110 результатов?​

Answer 1

Ответ:

36

ОБЪЯСНЕНИЕ:

Если среди этих изначальных чисел были три такие разных числа:

2*3*а

2*5*а

3*5*а

("а" одинаковое для каждой тройки) то при умножении первого числа на 5, второго числа на 3, а третьего числа на 2, получим три одинаковых числа

30*а

Потому что:

110:3 = 36 + 2,

тогда при умножение можно получить 36 разных троек (в каждой тройке одинаковые числа) и ещё два каких-то числа.Если это два числа из тройки то они тоже совпадут между собою.Таким образом, не наберётся ни одного числа, чтобы оно не совпало с каким-то другим числом.

Answer 2

Предположим, что умножение на 2 привело к наименьшему количеству различных чисел среди результатов. В таком случае, у нас будет 55 различных чисел после умножения на 2.

Теперь рассмотрим умножение на 3. Все числа, которые уже были умножены на 2, не будут повторяться после умножения на 3, потому что у них нет общих делителей, кроме 1. Поэтому, умножение на 3 может привести к дополнительным 55 различным числам.

Таким образом, у нас есть минимум 55 различных чисел после умножения на 2 и дополнительные 55 различных чисел после умножения на 3. Всего получается 55 + 55 = 110 различных чисел.

Ответ: наименьшее количество различных чисел, которое может быть среди 110 результатов, равно 110.