Question

В правильной пирамиде DABC на ребрах AB и DC взяты точки М и Р соответственно так, что AM : AB=DP: DC = 1:3. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки М и Р параллельно ребру АС. Найдите площадь построенного сечения, если DA = AB = 3​

Answer 1

ММ1||AC||PP1, тогда в сечении трапеция

Через подобин треугольников находятся основания 1 и 2..

найду боковую сторону МР1 по т косинусов

АР1=2/3*AD=2

AM=1/3*AB=1

MP1^2=2^2+1^2-2*2*1*cos60=3

тогда по Пифагору найду высоту трапеции P1H

P1H^2=MP1^2-MN^2=3-(1/2)^2=2 3/4=11/4

P1H=√11/2

S=(2+1)/2*√11/2=0.75√11

Answer 2

Для построения сечения пирамиды плоскостью, параллельной ребру AC, нужно провести плоскость, проходящую через точки M и R. Поскольку AM : AB = DP : DC = 1 : 3, можно сделать вывод, что плоскость сечения будет делить ребро AC в отношении 1 : 3.

Для построения сечения сначала найдем точку Q на ребре AC такую, что AQ : QC = 1 : 3. Поскольку DA = AB = 3, можно сказать, что DQ = 3 - 1 = 2 и QC = 3 - 2 = 1. Таким образом, получаем, что AQ = 2 и QC = 1.

Теперь, зная координаты точек M, Q и R, можно построить плоскость, проходящую через них. Сначала найдем векторы MQ и MR:

MQ = Q - M = (2 - 1, 0 - 0, 0 - 0) = (1, 0, 0) MR = R - M = (0 - 1, 3 - 0, 0 - 0) = (-1, 3, 0)

Затем найдем векторное произведение векторов MQ и MR:

N = MQ × MR = (0, 0, 1)

Вектор N является нормалью к плоскости сечения. Теперь у нас есть точка M и нормаль N к плоскости. Мы можем записать уравнение плоскости в параметрической форме:

N · (P - M) = 0

где P - произвольная точка на плоскости.

Подставим известные значения M = (1, 0, 0) и N = (0, 0, 1) в уравнение:

(0, 0, 1) · (P - (1, 0, 0)) = 0 P₃ = 0 + 0 + 1 P₃ = 1

Таким образом, уравнение плоскости сечения имеет вид P₃ = 1, где P₃ - координата Z любой точки на плоскости.

Площадь сечения пирамиды равна площади проекции основания пирамиды на плоскость сечения. Основание пирамиды - треугольник ABC. Поскольку точка P лежит на ребре DC, она также лежит на продолжении ребра BC.

Заметим, что треугольник ABC подобен треугольнику DPC в соотношении 1 : 3, так как AM : AB = DP : DC = 1 : 3. Следовательно, соответствующие стороны треугольников проп