Question

В конус с образующей 6√6 и высотой 12 вписан куб. Найдите объём куба.

Answer 1

Куб КLMNK₁L₁M₁N₁ вписан в конус ( см. рисунок).
Вершина куба
К₁ лежит на образующей SC,
L₁  - на образующей SB,
M₁ - на образующей SD,
N₁ -  на образующей SA
АВ и СD - взаимно-перпендикулярные диаметры основания конуса,
плоскость SAB $\perp$ плоскости SCD

KLMN- квадрат. Обозначим сторону квадрата
 КL=LM=MN=NL=a
По теореме Пифагора диагонали квадрата  КM=LN=a√2.

Радиус основания конуса найдем из прямоугольного треугольника ASO, образованного высотой, образующей и радиусом:
R²=(6√6)²-12²,
R=6√2
AO=BO=CO=DO=6√2,
АВ=СD=2R=12√2- диаметр окружности

Треугольник ANN₁ подобен треугольнику SAO по двум углам:
$\angle ANN _{1}= \angle SOA=90 ^{o}$
$\angle SAO$ - общий.

Из подобия треугольников:
AN:AO=N₁N:SO
AN:6√2=a:12  ⇒  AN=a√2/2.
В силу симметрии AN=LB=a√2/2

AN+NL+LB=AB

a√2/2 +a√2+a√2/2=12√2
2а√2=12√2.
а=6
V(куба) = а³=6³=216 куб. ед.

Answer 2

Проведем и рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через одну из боковых ребер куба, получится равнобедренный треугольник в который вписан прямоугольник две стороны (боковые) которого равны ребру куба, а две другие- диагонали основания куба. (см. фото)
1. По т. Пифагора получим АО=6√2
2. Пусть ребро куба- х, тогда диагональ основания х√2
3. треугольник BLP подобен треугольнику ВАО
4. из подобия составим пропорцию, отношения соответствующих сторон:
(х√2:2)/6√2=(12-x)/12
6х√2=72√2-6х√2
12х√2=72√2
x=6
V=6³=216