Question

√3/(tg (4x + π/12)) = 3;Розв'яжіть рівняння пж​

Answer 1

Почнемо з перетворення заданого рівняння:

√3/(tg (4x + π/12)) = 3

tg (4x + π/12) = √3/3

Тепер знайдемо значення аргумента, відповідного цьому значенню тангенсу, в діапазоні від 0 до 2π:

4x + π/12 = π/3 + kπ, де k - ціле число

4x = π/3 - π/12 + kπ

4x = π/4 + kπ/2

x = (π/4 + kπ/2) / 4, де k - ціле число

Отже, загальний розв'язок рівняння має вигляд:

x = (π/4 + kπ/2) / 4, де k - ціле число

Наприклад, для k = 0 отримуємо x = π/16, для k = 1 отримуємо x = (9π/16)/4 = 9π/64 тощо.

Answer 2

Щоб розв'язати це рівняння, спробуємо знайти значення змінної x, задовольняючи даному рівнянню. Почнемо зі спрощення виразу.

Заміна tg (4x + π/12) на sin (4x + π/12) / cos (4x + π/12):

√3 / (sin (4x + π/12) / cos (4x + π/12)) = 3

Множення обох сторін на cos (4x + π/12):

√3 / sin (4x + π/12) = 3 * cos (4x + π/12)

Заміна √3 на sin (π/3) та використання тотожності sin (α - β) = sin α * cos β - cos α * sin β:

sin (π/3) / sin (4x + π/12) = 3 * (cos (4x) * cos (π/12) - sin (4x) * sin (π/12))

Спрощення та використання тотожності sin (π/3) = √3 та cos (π/12) = (√6 + √2) / 4:

√3 / sin (4x + π/12) = 3 * ((√6 + √2) / 4 * cos (4x) - sin (4x) * (1 / 4))

Знаходження спільного знаменника:

√3 = 3 * ((√6 + √2) / 4 * cos (4x) - sin (4x) * (1 / 4)) * sin (4x + π/12)

Спрощення знаменника:

√3 = 3 * ((√6 + √2) * cos (4x) - sin (4x)) * sin (4x + π/12) / 4

Помножимо обидві сторони на 4:

4 * √3 = 3 * ((√6 + √2) * cos (4x) - sin (4x)) * sin (4x + π/12)

Розгорнемо sin (4x + π/12) за допомогою формул синуса подвійного кута:

4 * √3 = 3 * ((√6 + √2) * cos (4x) - sin (4x)) * (sin (4x) * cos (π/12) + cos (4x) * sin (π/12))

Помножимо обидві сторони на 3:

12 * √3 = ((√6 + √2) * cos (4x) - sin (4x)) * (3 * sin (4x) * cos (π/12) + 3 * cos (4x) * sin (π/12))

Спростимо вираз у дужках:

12 * √3 = ((√6 + √2) * cos (4x) - sin (4x))