Question

СРОЧНОООО!!! На занятии в математическом кружке предложили сыграть в игру и на доске написали некоторое число. По условиям, можно стереть последнюю цифру или прибавить к написанному числу 2019 и записать полученную сумму, при этом стереть предыдущее число. Получится ли при каком-нибудь исходе увидеть на доске число 1?

Answer 1

Да, получится. Рассмотрим число 1 и попробуем получить его с помощью описанных операций.

Убрать последнюю цифру – получим 0, что не помогает.

Добавить 2019 – получим 2020, уберём 2 и получим 20.

Добавить 2019 – получим 2039, уберём 3 и получим 203.

Добавить 2019 – получим 4038, уберём 8 и получим 403.

Добавить 2019 – получим 6047, уберём 7 и получим 604.

Добавить 2019 – получим 8066, уберём 6 и получим 806.

Добавить 2019 – получим 10085, уберём 5 и получим 1008.

Добавить 2019 – получим 12104, уберём 4 и получим 1210.

Добавить 2019 – получим 14123, уберём 3 и получим 141.

Добавить 2019 – получим 16142, уберём 2 и получим 161.

Добавить 2019 – получим 18161, уберём 1 и получим 18.

Добавить 2019 – получим 20180, уберём 0 и получим 2018.

Теперь мы получили число 2018. Добавим к нему 2019 и получим 4037. Уберём 7 и получим 403, а затем добавим к нему 2019 и получим 2422. Уберём 2 и получим 242, а затем добавим к нему 2019 и получим 2261. Уберём 1 и получим число 226, затем добавим 2019 и получим 2245. Уберём 5 и получим число 224, затем добавим 2019 и получим 2244. Уберём 4 и получим число 224, затем добавим 2019 и получим 2243. Уберём 3 и получим число 224, затем добавим 2019 и получим 2242. Уберём 2 и получим число 224, затем добавим 2019 и получим 2241. Уберём 1 и получим число 224, затем добавим 2019 и получим 2240. Уберём 0 и получим число 224, затем добавим 2019 и получим число 2243 и так далее.

Мы можем получать числа, оканчивающиеся на 1, но мы не можем получить число 1, так как при каждой операции мы либо убираем цифру 1, либо добавляем цифру 9, а цифра 9 не может стоять в конце числа.

Answer 2

Да, возможно увидеть на доске число 1 с помощью описанных операций. Давайте рассмотрим, как это можно сделать:

1. Пусть на доске изначально написано число 10.
2. Мы можем стереть последнюю цифру и получить число 1.

Таким образом, начав с числа 10, мы можем достичь числа 1 за одну операцию.

Обратите внимание, что есть и другие пути достижения числа 1, но данный пример демонстрирует, что это возможно.