Question

Найдите точки экстремума и экстремума функции f(x) = 2х3 -15 х2 +36x-24

Answer 1

Для знаходження точок екстремуму, треба знайти похідну функції f(x), прирівняти її до нуля і розв'язати рівняння для x.

f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x - 24

f'(x) = 6x^2 - 30x + 36

Прирівнюємо похідну до нуля:

6x^2 - 30x + 36 = 0

Ділимо обидві частини на 6:

x^2 - 5x + 6 = 0

Розв'язуємо квадратне рівняння:

x1 = 2, x2 = 3

Точки екстремуму знаходяться в точках x1 і x2. Для з'ясування характеру цих точок, можна вивчити знаки похідної f'(x) на інтервалах (-inf, x1), (x1, x2), і (x2, inf).

f''(x) = 12x - 30

f''(2) = -6

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x - 24, сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки. Затем проверим вторую производную в каждой критической точке, чтобы определить, является ли точка максимумом или минимумом.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x): f'(x) = 6x^2 - 30x + 36

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим уравнение: 6x^2 - 30x + 36 = 0

Мы можем разделить уравнение на 6, чтобы упростить его: x^2 - 5x + 6 = 0

Теперь факторизуем уравнение: (x - 2)(x - 3) = 0

Отсюда получаем две критические точки: x = 2 и x = 3.

Шаг 3: Проверим вторую производную в каждой критической точке.

f''(x) = 12x - 30

Подставим x = 2: f''(2) = 12(2) - 30 = -6

Подставим x = 3: f''(3) = 12(3) - 30 = 6

Шаг 4: Определим тип каждой критической точки.

• При f''(2) = -6 критическая точка x = 2 является максимумом функции.
• При f''(3) = 6 критическая точка x = 3 является минимумом функции.

Итак, точка x = 2 является максимумом функции, а точка x = 3 является минимумом функции.