Question

8. Скласти рівняння площини, яка проходить через три точки: М1(1;2;3), М2(4;-1;-2) і М3(4;0;3)

Answer 1

Щоб скласти рівняння площини, яка проходить через три точки М1(1;2;3), М2(4;-1;-2) і М3(4;0;3), спочатку потрібно знайти нормаль вектор цієї площини.

Нормальний вектор можна знайти, взявши векторний добуток двох векторів, які лежать в площині:

вектор М1М2 = (4 - 1; -1 - 2; -2 - 3) = (3; -3; -5)
вектор М1М3 = (4 - 1; 0 - 2; 3 - 3) = (3; -2; 0)

Тоді нормальний вектор буде векторним добутком:

n = (3; -3; -5) × (3; -2; 0) = (15; 15; 9)

Отже, ми знайшли нормаль вектор до площини.

Щоб скласти рівняння площини, використовуємо формулу:

ax + by + cz = d

де a, b, c - координати нормального вектора, а x, y, z - координати будь-якої точки, що лежить на площині.

Для зручності можна взяти точку М1, М2 або М3. Наприклад, я візьму точку М1:

15x + (-15)y + 9z = d

Підставляємо координати точки М1:

15 * 1 + (-15) * 2 + 9 * 3 = 6

Тоді рівняння площини, яка проходить через точки М1, М2 і М3, буде:

15x - 15y + 9z = 6

Answer 2

Для складання рівняння площини, яка проходить через три дані точки, можна скористатися векторними операціями. Основна ідея полягає в тому, що векторні відрізки, які з'єднують ці точки, лежать в площині.

1. Спочатку знайдемо два вектори, які лежать в площині, скориставшись двома відрізками, що з'єднують точки: Вектор AB = M2 - M1 = (4 - 1, -1 - 2, -2 - 3) = (3, -3, -5) Вектор AC = M3 - M1 = (4 - 1, 0 - 2, 3 - 3) = (3, -2, 0)

2. Потім знайдемо векторний добуток цих двох векторів, щоб отримати нормальний вектор до площини: Нормальний вектор N = AB × AC N = (3, -3, -5) × (3, -2, 0) = ((-3 * 0) - (-2 * -5), (-5 * 3) - (0 * -3), (3 * -2) - (-3 * 3)) = (10, -15, -3)

3. Використовуючи нормальний вектор та одну з точок, наприклад, M1(1, 2, 3), складемо рівняння площини у вигляді Ax + By + Cz + D = 0: 10x - 15y - 3z + D = 0

4. Щоб визначити значення D, підставимо координати точки M1(1, 2, 3) в рівняння: 10 * 1 - 15 * 2 - 3 * 3 + D = 0 10 - 30 - 9 + D = 0 D = 29

Таким чином, рівняння площини, яка проходить через точки M1(1, 2, 3), M2(4, -1, -2) і M3(4, 0, 3), має вигляд: 10x - 15y - 3z + 29 = 0