Question

Помогите пж Постройте произвольный прямоугольник и его образ при симметрии с центром в точке пересечения его диагоналей. Какая фигура является пересечением(объединением) данного прямоугольник и его образа?

Answer 1

Відповідь:

На рисунке ниже изображен произвольный прямоугольник $ABCD$ и его образ $A'B'C'D'$ при симметрии с центром в точке пересечения его диагоналей:

    A'____________B'

    |            |

    |            |

    |     *      |

    |            |

    |____________|

   D'            C'

   

     |------------|

         2a

Для удобства обозначим середину прямоугольника точкой $*$, а сторону прямоугольника $ABCD$ равной $2a$.

Тогда диагонали прямоугольника $ABCD$ имеют длину $2\sqrt{a^2+b^2}$, где $b$ - высота прямоугольника.

Поскольку центр симметрии находится в точке пересечения диагоналей, каждая точка прямоугольника $ABCD$ симметрична относительно центра симметрии относительно пересечения диагоналей.

Таким образом, получаем, что фигура, которая является пересечением (объединением) данного прямоугольника и его образа - это ромб со стороной $2a$.

 *  

        |\

        | \

        |  \

        |   \

        |    \

        |     \

        |      \

        |       \

        |________\

        A        B

Рисунок ромба не масштабирован, но его стороны имеют ту же длину, что и стороны исходного прямоугольника.  

Answer 2

Если мы построим произвольный прямоугольник ABCD, где AB и CD - параллельные стороны, а AD и BC - также параллельные стороны, и проведем его диагонали AC и BD, то центр симметрии будет точкой пересечения диагоналей, обозначим ее точкой O.

Чтобы найти образ прямоугольника при симметрии с центром в точке O, нужно отразить каждую точку прямоугольника относительно центра O.

Точка A' будет находиться на продолжении OA за точкой O таким образом, что OA = OA'. Аналогично, точка B' будет находиться на продолжении OB за точкой O таким образом, что OB = OB'. Точки C' и D' будут находиться на продолжениях OC и OD соответственно, сохраняя равенство расстояний.

Теперь рассмотрим пересечение (объединение) прямоугольника ABCD и его образа A'B'C'D'. В результате мы получим фигуру, которая является симметричной относительно центра O относительно прямоугольника ABCD. Эта фигура будет иметь симметричную форму относительно O и будет состоять из двух копий исходного прямоугольника, соединенных углами в точке O.

Полученная фигура будет выглядеть как четырехугольник с вершинами A, A', O, B', B, C, C', O, D' и D.