Question

Найти координаты вектора b , зная координаты коллинеарного вектора a(2,1, -1) и имея условие a×b=3

Answer 1

ответ и пошаговое обьяснение:

Коллинеарные векторы параллельны и могут отличаться только по длине, поэтому вектор b также будет коллинеарным с вектором a. Это означает, что существует число k, такое что b=k*a.

Также дано условие a×b=3. Векторное произведение a×b является вектором, перпендикулярным обоим векторам a и b. Поскольку a и b коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю, а значит вектор b должен быть параллелен вектору, перпендикулярному обоим векторам a и b.

Из этого следует, что вектор b должен быть перпендикулярен вектору a×b. Так как a и b коллинеарны, то a×b также коллинеарен с a и b. Следовательно, b должен быть перпендикулярен a.

Таким образом, чтобы найти вектор b, необходимо взять вектор, перпендикулярный a, и задать его длину, умножив на коэффициент k:

b = k * (1, -2, -5)

Поскольку вектор b коллинеарен вектору a, он имеет ту же направленность. Так как a и b коллинеарны, то их длины относятся как соответствующие координаты:

b = k * (2, 1, -1)

Теперь необходимо найти значение k. Для этого воспользуемся условием a×b=3. Векторное произведение a×b можно найти как определитель матрицы из координат векторов a и b:

a × b =

| i j k |

| 2 1 -1 |

| 2k k -k |

Вычисляя этот определитель, получаем:

a × b = (k-2)i - 5kj - 3k^2 j - 3ki - 2k^2 j + 2k k = (k-2)i - 5kj - k^2 j

Так как a × b=3, то получаем уравнение:

(k-2)i - 5kj - k^2 j = 3

Сравнивая соответствующие коэффициенты, получаем систему уравнений:

k - 2 = 0

-5k = 0

-k^2 = 3

Отсюда следует, что k=2 и k не может быть равным -5, так как это приводит к противоречию в последнем уравнении. Таким образом,

b = 2 * (2, 1, -1) = (4, 2, -2)

Answer 2

У нас есть условие a×b = 3, где a (2, 1, -1) и b (x, y, z) - неизвестные координаты вектора b.

Векторное произведение между векторами a и b может быть вычислено следующим образом:

a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

Где a₁, a₂ и a₃ - координаты вектора a, b₁, b₂ и b₃ - координаты вектора b.

Используя наши известные значения, мы можем записать:

(2b₃ - (-1)b₂, (-1)b₁ - 2b₃, 2b₂ - 1b₁) = (3, 3, 3)

Раскрывая скобки, получим систему уравнений:

2b₃ + b₂ = 3 -b₁ - 2b₃ = 3 2b₂ - b₁ = 3

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения b₁, b₂ и b₃.

Уравнение 1: 2b₃ + b₂ = 3 (Уравнение 1) Уравнение 2: -b₁ - 2b₃ = 3 (Уравнение 2) Уравнение 3: 2b₂ - b₁ = 3 (Уравнение 3)

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или любым другим методом решения систем линейных уравнений. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Решение:

Из Уравнения 2 можно выразить b₁ через b₃:

-b₁ - 2b₃ = 3 b₁ = -2b₃ - 3

Подставим это значение b₁ в Уравнение 3:

2b₂ - (-2b₃ - 3) = 3 2b₂ + 2b₃ + 3 = 3 2b₂ + 2b₃ = 0 2b₂ = -2b₃ b₂ = -b₃

Теперь у нас есть выражения для b₁ и b₂ через b₃:

b₁ = -2b₃ - 3 b₂ = -b₃

Подставим эти значения b₁ и b₂ в Уравнение 1:

2b₃ + (-b₃) = 3 b₃ = 3

Теперь, когда мы знаем b₃, мы можем вычислить b₁ и b₂:

b₁ = -2b₃ - 3 = -2(3) - 3 = -9 b₂ = -b₃ = -(-3) = 3

Таким образом, координаты вектора b равны (-9, 3, 3).