Question

1/b1+1/b2+1/b3+...+1/bn=Sn/b1bn Доказать нужно

Answer 1

Ответ:Для доведення цієї формули ми можемо використати метод математичної індукції.

Базовий крок: при n = 2, ми маємо:

1/b1 + 1/b2 = (b2 + b1) / b1b2 = Sn / b1b2

Тут ми використали формулу для додавання дробів: 1/b1 + 1/b2 = (b2 + b1) / b1b2.

Індукційний крок: припустимо, що формула справедлива для деякого значення n = k, тобто

1/b1 + 1/b2 + ... + 1/bk = Sk / b1bk

Тепер доведемо, що формула також справедлива для n = k + 1:

1/b1 + 1/b2 + ... + 1/bk + 1/b(k+1) = Sk / b1bk + 1/b(k+1)

Ми можемо об'єднати дві дроби на правій стороні:

1/b1 + 1/b2 + ... + 1/bk + 1/b(k+1) = (Sk * b(k+1) + 1) / b1bk * b(k+1)

Тепер ми повинні довести, що це дійсно дорівнює Sn+1 / b1b(k+1):

(Sk * b(k+1) + 1) / b1bk * b(k+1) = Sn+1 / b1b(k+1)

Множачи обидві сторони на b1bk * b(k+1), ми отримаємо:

Sk * b(k+1) + 1 = Sn+1 * b1bk

Sk * b(k+1) = Sn+1 * b1bk - 1

Sk * b(k+1) = Sn+1 * b1bk - b1bk + b1bk - 1

Sk * b(k+1) = b1bk(Sn+1 - 1) + (b1bk - 1)

Sk * b(k+1) = b1bkSn + (b1bk - 1)

Sk * b(k+1) = Sn+1 * b1bk - Sn+1 + b1bk - 1

Sk * b(k+1) = Sn+1 * b1bk - (Sn+1 - 1) - (b1bk - 1)

Sk * b(k+1) = Sn+1 * b1bk - 1

Тому ми довели формулу індукцією, що завершує доказ.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг базы: При n = 2: 1/b1 + 1/b2 = (b2 + b1)/(b1 * b2), что является верным.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для n = k, т.е. 1/b1 + 1/b2 + 1/b3 + ... + 1/bk = Sk/(b1 * bk).

Докажем, что утверждение также верно для n = k + 1.

Рассмотрим выражение для n = k + 1: 1/b1 + 1/b2 + 1/b3 + ... + 1/bk + 1/b(k+1)

Мы можем переписать это выражение следующим образом: (1/b1 + 1/b2 + 1/b3 + ... + 1/bk) + 1/b(k+1)

Используя предположение индукции, можем заменить первую часть суммы: Sk/(b1 * bk) + 1/b(k+1)

Найдем общий знаменатель для слагаемых: Sk/(b1 * bk) + (1/b(k+1)) * (bk/bk)

Теперь соберем все слагаемые в одну дробь: (Sk * bk + b1)/(b1 * bk)

Таким образом, мы получили: (Sk * bk + b1)/(b1 * bk) = S(k+1)/(b1 * b(k+1))

Утверждение верно и для n = k + 1.

Исходя из принципа математической индукции, утверждение верно для любого натурального числа n.