Question

Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями f(x)= x²-2x+2, y=0, x=-1,x=2​

Answer 1

Для того, чтобы обчислити площу фігури, нам необхідно спочатку знайти координати точок перетину ліній f(x) = x² - 2x + 2 з лініями y = 0, x = -1 і x = 2.

Для цього розв'язуємо систему рівнянь:

x² - 2x + 2 = 0

x = 1 ± √(1 - 2)  (використовуємо формулу дискримінанту)

Отже, точки перетину лінії f(x) з лініями x = -1, x = 2 та y = 0 мають координати:

A(-1, 0), B(2, 0), C(1-√2, 0), D(1+√2, 0)

Фігура, обмежена цими лініями, є трапецієподібною. Її площу можна обчислити за формулою:

S = ((a+b)*h)/2

де a та b - довжини паралельних сторін трапеції, h - висота трапеції.

Для нашої фігури a = CD = 2√2 - 2, b = AB = 3, h = OA = f(1) = 1.

Отже,

S = ((2√2 - 2 + 3)*1)/2 = (2√2 + 1)/2 ~ 1.93

Отже, площа цієї фігури близько 1.93 квадратних одиниць.

Answer 2

Щоб обчислити площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями, ми повинні обчислити інтеграл від функції f(x) від -1 до 2 та віднести площу під цією кривою до осі x.

Спочатку знайдемо точки перетину функції f(x) з осію x. Це відбувається тоді, коли f(x) = 0.

x² - 2x + 2 = 0

Для знаходження коренів цього квадратного рівняння, ми можемо застосувати квадратне рівняння, або скористатися формулою дискримінанта.

Дискримінант (D) обчислюється за формулою D = b² - 4ac, де a, b, c - коефіцієнти квадратного рівняння ax² + bx + c = 0.

У нашому випадку a = 1, b = -2, c = 2.

D = (-2)² - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4

Так як дискримінант від'ємний, рівняння не має дійсних коренів. Отже, функція f(x) не перетинає ось x. Це означає, що фігура, обмежена лініями f(x), y = 0, x = -1 та x = 2, не має площі.