Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 точки М к Р - середины ребер, ВС и CD соответственно, О1 - центр гранн А1B1C1D1. Найдите объем пирамидыO1ABMPD1 если объем куба равен 240.

Answer 1

Ответ:

Воспользуемся формулой, выражающей объем правильной пирамиды через площадь основания и высоту. Перед этим найдем площадь основания O1ABCD1, которая является основанием нашей пирамиды. Эту площадь можно разбить на две равные части, проходящие через центр куба O.

Таким образом,

площадь основания O1ABCD1 = 2 * (площадь равнобедренного треугольника AOC) = 2 * (площадь прямоугольного треугольника AOC, т.к. AC и OC1 - диагонали квадрата)

Так как AC = 2 * BM и OC = 2 * PD1, то:

S(O1ABCD1) = 2 * (1 / 2 * AC * OC) = 2 * (1 / 2 * 2BM * 2PD1) = 4 * BM * PD1

Также заметим, что высота нашей правильной пирамиды является расстоянием между точкой О1 и плоскостью основания O1ABCD1. Расстояние от точки до плоскости можно вычислить по формуле:

h = |ax0 + by0 + cz0 + d| / √(a^2 + b^2 + c^2)

Где ax0 + by0 + cz0 + d = 0 - уравнение плоскости, a, b, c - координаты вектора нормали к плоскости, и √(a^2 + b^2 + c^2) - длина этого вектора.

Таким образом, высота нашей правильной пирамиды равна:

h = |0 * x0 + 0 * y0 + 1 * z0 - 0| / √(0^2 + 0^2 + 1^2) = z0

Заметим, что точка О1 имеет координаты (0, 0, 0), а плоскость O1ABCD1 проходит через точки A, B, C, D, которые имеют координаты (+/-1, +/-1, +/-1). Подставляем в формулу координаты какой-либо точки на плоскости, например, точки A, и получаем:

h = |0 * (-1) + 0 * (-1) + 1 * (-1) - 0| / √(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1 / √2

Теперь, используя формулу для объема правильной пирамиды, находим объем искомой пирамиды:

V = 1 / 3 * S(O1ABCD1) * h = 1 / 3 * 4 * BM * PD1 * 1 / √2 = (4 / 3)√2 * BM * PD1

Значение BM и PD1 можно выразить через длину ребра куба, которая равна a = ∛240 ≈ 6.21. Так как М и Р являются серединами ребер ВС и CD соответственно, то BM = PD1 = a / 2 = 3.105. Таким образом,

V = (4 / 3)√2 * 3.105 * 3.105 = 38.09 (округляем до сотых)

Итак, объем пирамиды O1ABMPD1 равен 38.09, если объем куба равен 240.

Answer 2

Чтобы найти объем пирамиды O1ABMPD1, мы должны вычислить половину объема параллелепипеда, который образуется вершинами O1, A, B, M, P и D1.

Объем куба равен 240, поэтому объем параллелепипеда, который образуется вершинами O1, A, B, M, P и D1, будет равен половине этого значения, то есть 240/2 = 120.

Теперь найдем длину ребра куба. Объем куба выражается формулой V = a^3, где "a" - длина ребра. Подставляя известные значения, получаем 240 = a^3. Решая это уравнение, найдем, что a = ∛240 ≈ 6.2996.

Так как M и R являются серединами ребер BC и CD соответственно, то длина отрезка MR будет равна половине длины ребра куба, то есть 6.2996 / 2 = 3.1498.

Теперь мы можем построить пирамиду O1ABMPD1, где O1A = O1B = O1M = O1P = O1D1 = 6.2996, а MR = 3.1498.

Объем пирамиды вычисляется по формуле V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды.

Основание пирамиды O1ABMPD1 является квадратом со стороной O1M, поэтому его площадь равна S = (O1M)^2.

Высота пирамиды равна MR.

Теперь мы можем вычислить объем пирамиды:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * (O1M)^2 * MR = (1/3) * (6.2996)^2 * 3.1498 ≈ 31.414.

Таким образом, объем пирамиды O1ABMPD1 примерно равен 31.414.