Question

∞ Найти область сходимости степенного ряда ∑ nˆ3(x+3)ˆ2n+1/(n+1)! n = 1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для знаходження області збіжності степеневого ряду можна скористатися ознакою Даламбера або ознакою Коші-Адамара.

Ознака Даламбера:

Нехай задано степеневий ряд ∑a_nx^n. Якщо існує границя

lim |a_{n+1}x^{n+1}/a_nx^n| = lim |a_{n+1}/a_n||x| = L,

то ряд збігається абсолютно при |x|<1/L та розбігається при |x|>1/L.

Обчислимо границю за ознакою Даламбера для даного ряду:

lim |a_{n+1}x^{n+1}/a_nx^n| = lim |(n+1)^3*(x+3)^{2(n+1)+1}/(n+2)!n^3(x+3)^{2n+1}|

= lim |(n+1)/(n+2)|*|(x+3)^2| = |x+3|^2.

Отже, за ознакою Даламбера ряд збігається абсолютно при |x+3|^2<1, тобто при -2<x<-4.

Ознака Коші-Адамара:

Нехай задано степеневий ряд ∑a_n*x^n. Якщо існує границя

L = lim sup |a_n|^(1/n),

то ряд збігається абсолютно при |x|<1/L та розбігається при |x|>1/L.

Обчислимо границю за ознакою Коші-Адамара для даного ряду:

L = lim sup |a_n|^(1/n) = lim sup ((n^3*(x+3)^(2n+1))/(n+1)!)^(1/n)

= lim sup ((n^3*(x+3)^2)/(n+1))^(1/n) = |x+3|^2.

Отже, за ознакою Коші-Адамара ряд збігається абсолютно при |x+3|^2<1, тобто при -2<x<-4.

Отже, область збіжності даного степеневого ряду складається з усіх точок з інтервалу (-4, -2).

Answer 2

Для определения области сходимости степенного ряда необходимо использовать признак Даламбера. Признак Даламбера основан на сравнении отношения последовательных членов ряда с определенным значением.

Рассмотрим ряд ∑(n^3)(x+3)^(2n+1)/(n+1)! при n = 1 и выше.

Вычислим отношение двух последовательных членов ряда:

aₙ = (n^3)(x+3)^(2n+1)/(n+1)!, aₙ₊₁ = ((n+1)^3)(x+3)^(2(n+1)+1)/((n+1)+1)!

Разделим aₙ₊₁ на aₙ:

(aₙ₊₁)/(aₙ) = [(n+1)^3/(n^3)] * [(x+3)^(2(n+1)+1)/(x+3)^(2n+1)] * [(n+1)!/(n+1+1)!]

Упростим это выражение:

(aₙ₊₁)/(aₙ) = [(n+1)^3/(n^3)] * [(x+3)^(2(n+1)+1)/(x+3)^(2n+1)] * [1/(n+2)]

Теперь устремим n к бесконечности:

lim(n→∞) [(aₙ₊₁)/(aₙ)] = lim(n→∞) [(n+1)^3/(n^3)] * [(x+3)^(2(n+1)+1)/(x+3)^(2n+1)] * [1/(n+2)]

Упрощаем это выражение:

lim(n→∞) [(aₙ₊₁)/(aₙ)] = lim(n→∞) [(n^3+3n^2+3n+1)/(n^3)] * [(x+3)^2/(x+3)^2n] * [1/(n+2)]

Теперь рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

lim(n→∞) [(n^3+3n^2+3n+1)/(n^3)] = 1,

lim(n→∞) [(x+3)^2/(x+3)^2n] = (x+3)^2,

lim(n→∞) [1/(n+2)] = 0.

Теперь умножим все полученные значения:

lim(n→∞) [(aₙ₊₁)/(aₙ)] = 1 * (x+3)^2 * 0 = 0.

Исходя из признака Даламбера, если lim(n→∞) [(aₙ₊₁)/(aₙ)] < 1, то ряд сходится. Если lim(n→∞) [(aₙ₊₁)/(aₙ)] > 1, то ряд расходится. Если lim(n→∞) [(aₙ₊₁)/(aₙ)] = 1, признак не дает определенного результата.

В данном случае, lim(n→