Question

У рівнобічній трапеції діагональ ділить гострий кут навпіл. Знайти середню лінію трапеції, якщо її основи відносяться, як 1:2, а периметр трапеції дорівнює 60 см.

Answer 1

Ответ:

Позначимо основи трапеції як $a$ і $2a$ (відповідно до умови задачі), а діагональ як $d$. Так як діагональ ділить гострий кут трапеції навпіл, то ми можемо розділити трапецію на дві рівні трикутники за допомогою діагоналі.

Застосуємо теорему Піфагора до кожного з цих трикутників, щоб знайти довжину бічної сторони трапеції:

(

�

2

)

2

=

ℎ

2

+

(

�

2

)

2

(

2

d

)

2

=h

2

+(

2

a

)

2

де $h$ - висота трапеції, що ділиться діагоналлю навпіл.

Оскільки трапеція рівнобічна, то висота $h$ також є середньою лінією трапеції. Тому ми отримуємо:

ℎ

=

(

�

2

)

2

−

(

�

2

)

2

h=

(

2

d

)

2

−(

2

a

)

2

Тепер ми можемо виразити периметр трапеції, використовуючи дану умову:

Тепер ми можемо знайти середню лінію трапеції (висоту) за допомогою вище наведеної формули:

Answer 2

Нехай основи трапеції мають довжини x та 2x (згідно з відношенням 1:2).

За умовою, діагональ ділить гострий кут трапеції навпіл, що означає, що між діагоналями і бічними сторонами трапеції утворюються прямі кути.

Для знаходження середньої лінії трапеції (медіани) можна скористатися формулою:

Медіана = (основа1 + основа2) / 2

Знаходимо периметр трапеції:

периметр = основа1 + основа2 + бічна сторона1 + бічна сторона2

60 = x + 2x + бічна сторона1 + бічна сторона2

60 = 3x + бічна сторона1 + бічна сторона2

Знаходимо бічні сторони трапеції за допомогою теореми Піфагора:

бічна сторона1 = √(діагональ^2 - (x/2)^2) бічна сторона2 = √(діагональ^2 - (2x/2)^2)

Враховуючи, що діагональ ділить гострий кут навпіл, маємо:

діагональ^2 = (x/2)^2 + бічна сторона1^2

(x/2)^2 + бічна сторона1^2 = (2x/2)^2 + бічна сторона2^2

(x/2)^2 + (діагональ^2 - (x/2)^2) = (2x/2)^2 + (діагональ^2 - (2x/2)^2)

x^2/4 + діагональ^2 - x^2/4 = x^2 + діагональ^2 - x^2/4

діагональ^2 = 3x^2/2

Підставляємо це значення діагоналі у вираз для периметру:

60 = 3x + √(діагональ^2 - (x/2)^2) + √(діагональ^2 - (2x/2)^2)

60 = 3x + √(3x^2/2 - (x/2)^2) + √(3x^2/2 - x^2)

60 = 3x + √(3x^2/2 - x^2/4) + √(3x^2/2 - x^2)

60 = 3x +