Question

Разложите многочлен на множители: (2a - b)3 - (2a + b)3. ​

Answer 1

Ответ: Для начала, раскроем скобки в каждом из кубов:

(2a - b)3 = (2a - b)(2a - b)(2a - b) = (2a - b)(4a2 - 4ab + b2)

(2a + b)3 = (2a + b)(2a + b)(2a + b) = (2a + b)(4a2 + 4ab + b2)

Теперь подставим эти выражения в исходное выражение и проведем алгебраические преобразования:

(2a - b)3 - (2a + b)3 = (2a - b)(4a2 - 4ab + b2) - (2a + b)(4a2 + 4ab + b2)

= 8a3 - 12a2b + 6ab2 - b3 - (8a3 + 12a2b + 6ab2 + b3)

= -24a2b - 2b3

Таким образом, мы получили многочлен -24a2b - 2b3. Он уже не может быть разложен на множители дальше, так как это многочлен над полем вещественных чисел, и он не имеет корней в этом поле.

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся формулой разности кубов:

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

В нашем случае:

(2a - b)^3 - (2a + b)^3

= [(2a - b) - (2a + b)][(2a - b)^2 + (2a - b)(2a + b) + (2a + b)^2]

= [-2b][(2a - b)^2 - (2a - b)(2a + b) + (2a + b)^2]

= -2b[(4a^2 - 4ab + b^2) - (4a^2 - b^2) + (4a^2 + 4ab + b^2)]

= -2b[-4ab + 2b^2 + 8a^2]

= 2b(4ab - 2b^2 - 8a^2)

Таким образом, многочлен (2a - b)^3 - (2a + b)^3 раскладывается на множители: 2b(4ab - 2b^2 - 8a^2).