Question

Тема: площадь криволинейной трапеции Помогите пожалуйста решить: y=x²+1 x=-2 x=1 Ox

Answer 1

Ответ: S=6

Пошаговое объяснение:

$S=\int\limits^1_2 {(x^2+1)} \, dx = x^3/3+x I (-2;1) = 1/3+1 -(-2)^3/3-(-2)=\\1/3+1+8/3 +2= 3+3=6$

Answer 2

Для решения задачи о площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = x² + 1, вертикальными линиями x = -2 и x = 1, и осью Ox, мы можем использовать интеграл.

Сначала найдем точки пересечения кривой с вертикальными линиями. Подставим значения x = -2 и x = 1 в уравнение кривой:

При x = -2: y = (-2)² + 1 = 4 + 1 = 5

При x = 1: y = (1)² + 1 = 1 + 1 = 2

Таким образом, кривая пересекает вертикальные линии x = -2 и x = 1 в точках (-2, 5) и (1, 2) соответственно.

Далее, чтобы найти площадь криволинейной трапеции, мы можем использовать следующий интеграл:

S = ∫[a,b] |y(x)| dx,

где [a, b] - интервал, на котором определена кривая. В данном случае a = -2 и b = 1.

Интеграл для нашей задачи будет выглядеть следующим образом:

S = ∫[-2,1] |x² + 1| dx.

Однако, заметим, что функция x² + 1 всегда положительна на интервале [-2, 1]. Поэтому, мы можем просто интегрировать функцию без модуля:

S = ∫[-2,1] (x² + 1) dx.

Вычислим этот интеграл:

S = [1/3 * x³ + x]_(-2 to 1) = (1/3 * 1³ + 1) - (1/3 * (-2)³ + (-2)) = (1/3 + 1) - (1/3 * (-8) + (-2)) = (1/3 + 1) - (-8/3 + 6/3) = 4/3 + 2/3 + 8/3 - 6/3 = 8/3

Таким образом, площадь криволинейной трапеции ограниченной кривой y = x² + 1, вертикальными линиями x = -2 и x = 1, и осью Ox равна 8/3 (приближенно 2.6667) квадратных единиц.