Question

В конечной последовательности, состоящей из натуральных чисел, больше одного числа. Каждый следующий член этой последовательности отличается от предыдущего либо на 8 , либо в 7 раз. Сумма всех членов последовательности равна 107 107 . Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?

Answer 1

Відповідь:Рассмотрим два случая, когда следующий член последовательности отличается от предыдущего на 8 или на 7 раз.

Если следующий член отличается от предыдущего на 8, то чтобы получить минимальную последовательность, мы должны начать с наименьшего числа, то есть 1. Далее мы можем получить последовательность 1, 9, 17, 25, 33, ... , где каждый следующий член отличается от предыдущего на 8. Сумма первых n членов такой последовательности равна n(2n-1). Пусть последний член в этой последовательности равен k. Тогда сумма первых n членов равна n(2n-1) = 107107 - k. Решая это уравнение относительно k, мы получаем k = 107107 - n(2n-1). Чтобы k было натуральным числом, n(2n-1) должно быть меньше или равно 107107. Решая это неравенство относительно n, мы получаем n ≤ 72.

Если следующий член отличается от предыдущего в 7 раз, то мы можем начать с наименьшего числа 1 и получить последовательность 1, 7, 49, 343, ... , где каждый следующий член отличается от предыдущего в 7 раз. Сумма первых n членов такой последовательности равна (7^n - 1)/6. Пусть последний член в этой последовательности равен k. Тогда сумма первых n членов равна (7^n - 1)/6 = 107107 - k. Решая это уравнение относительно k, мы получаем k = 7^n - 6×107107 + 1. Чтобы k было натуральным числом, 7^n должно быть больше или равно 6×107106. Решая это неравенство относительно n, мы получаем n ≥ 5.

Из этих двух случаев наименьшее значение n равно 5, так как для n = 1, 2, 3, 4 ни один из двух случаев не дает сумму равную 107107. Значит, наименьшее число членов в последовательности равно 5, и мы можем начать с 1, 9, 17, 25, 33.

Покрокове пояснення:

Answer 2

Пусть наименьшее число в последовательности равно x.

Первое число будет x. Второе число будет либо x + 8, либо x * 7. Третье число будет либо (x + 8) + 8 = x + 16, либо (x + 8) * 7 = 7x + 56, либо (x * 7) + 8 = 7x + 8. Четвертое число будет либо (x + 16) + 8 = x + 24, либо (7x + 56) + 8 = 7x + 64, либо (7x + 8) + 8 = 7x + 16, либо (x * 7) * 7 = 49x. И так далее.

Мы знаем, что сумма всех членов последовательности равна 107,107. Поэтому мы можем записать следующее уравнение:

x + (x + 8) + (x + 16) + (x + 24) + ... = 107,107.

Суммируя арифметическую прогрессию, получаем:

x + (x + 8) + (x + 16) + (x + 24) + ... = (n/2)(2x + (n - 1)d),

где n - количество членов в последовательности, d - разность между членами последовательности (8 или 7).

Упрощая это уравнение, получаем:

n(2x + (n - 1)d) / 2 = 107,107.

n(2x + 7n - 7) = 214,214.

2nx + 7n^2 - 7n = 214,214.

Решая это уравнение, мы можем найти значения x и n.

Поскольку мы ищем наименьшее количество членов, можно попробовать различные значения n, начиная с небольших чисел, и проверить, удовлетворяют ли они уравнению.