Question

Знайти найбільше і найменше значення функції y=x^2+5/x+2 на відрізку [0; 3].

Answer 1

Для знаходження найбільшого і найменшого значення функції y = x^2 + 5/x + 2 на відрізку [0, 3], спочатку потрібно обчислити значення функції на кінцях цього відрізка і в критичних точках всередині відрізка, а потім порівняти їх.

1. Значення на кінцях відрізка: Для x = 0: y(0) = 0^2 + 5/0 + 2 = нескінченність (тому що ділення на нуль неможливе)

   Для x = 3: y(3) = 3^2 + 5/3 + 2 = 9 + 5/3 + 2 = 18 + 5/3 ≈ 18.67

2. Значення у критичних точках всередині відрізка: Для обчислення критичних точок, потрібно знайти похідну функції і прирівняти її до нуля: y = x^2 + 5/x + 2

   y' = 2x - 5/x^2

   2x - 5/x^2 = 0 2x^3 - 5 = 0 2x^3 = 5 x^3 = 5/2 x = ∛(5/2)

   Оскільки ми шукаємо значення всередині відрізка [0, 3], перевіримо, чи потрапляє знайдена критична точка в цей інтервал. Якщо так, то обчислимо значення функції в цій точці.

   ∛(5/2) ≈ 1.65 y(∛(5/2)) = (∛(5/2))^2 + 5/(∛(5/2)) + 2

   Обчислимо це значення.

3. Порівняємо отримані значення, щоб знайти найбільше і найменше: Найменше значення буде найменшим з обчислених значень. Найбільше значення буде найбільшим з обчислених значень.

Давайте обчислимо значення функції у критичній точці та порівняємо його зі значеннями на кінцях відрізка [0, 3].