Question

Вершини трикутника розміщені в точках А(1;0;1), В(-1;3;0), С(3,4,3) 1) Знайдіть квадрат довжини медіани, проведеної з вершини В 2) Обчисліть косинус кута між прямими ВМі АВ, де М-середина сторони AС

Answer 1

М(x, y, z) = ((1+3)/2, (0+4)/2, (1+3)/2) = (2, 2, 2).

ВМ = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),

ВМ = √((-1 - 2)^2 + (3 - 2)^2 + (0 - 2)^2) = √((-3)^2 + 1^2 + (-2)^2) = √(9 + 1 + 4) = √14.

AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (-1 - 1, 3 - 0, 0 - 1) = (-2, 3, -1),

BM = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (2 - (-1), 2 - 3, 2 - 0) = (3, -1, 2).

||AB|| = √((-2)^2 + 3^2 + (-1)^2) = √(4 + 9 + 1) = √14,

||BM|| = √(3^2 + (-1)^2 + 2^2) = √(9 + 1 + 4) = √14.

cos(θ) = ((-2 * 3) + (3 * -1) + (-1 * 2)) / (√14 * √14) = (-6 - 3 - 2) / 14 = -11 / 14.

Отже, косинус кута між прямими ВМ і АВ дорівнює -11/14.

Answer 2

1. Щоб знайти квадрат довжини медіани, проведеної з вершини В, потрібно обчислити середнє арифметичне квадратів відстаней від вершини В до інших двох вершин трикутника.

Спочатку обчислимо відстані між вершинами: AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²] = √[(-1 - 1)² + (3 - 0)² + (0 - 1)²] = √[4 + 9 + 1] = √14

AC = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²] = √[(3 - 1)² + (4 - 0)² + (3 - 1)²] = √[4 + 16 + 4] = √24 = 2√6

Тепер обчислимо координати середини сторони AC: M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, (z₁ + z₂) / 2) = ((1 + 3) / 2, (0 + 4) / 2, (1 + 3) / 2) = (2, 2, 2)

Тепер обчислимо відстань BM: BM = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²] = √[(-1 - 2)² + (3 - 2)² + (0 - 2)²] = √[9 + 1 + 4] = √14

Тепер обчислимо квадрат довжини медіани: BV² = (1/4) * (2AC² + 2BM² - AM²) = (1/4) * (2(2√6)² + 2(√14)² - √14²) = (1/4) * (2 * 4 * 6 + 2 * 14 - 14) = (1/4) * (48 + 28 - 14) = (1/4) * 62 = 15.5

Таким чином, квадрат довжини медіани, проведеної з вершини В, дорівнює 15.5.

2. Щоб обчислити косинус кута між прямими ВМ і АВ, ми можемо використовувати властивість косинуса кута між векторами.

Вектор BM можна обчислити, віднявши координати точок B і M: BM = (x₂ - x