Question

В выражении (a+b+c+d)2 перед некоторыми (не всеми) из переменных a, b, c, d поставили знак «−», после чего раскрыли скобки и привели подобные слагаемые. При скольких слагаемых в полученной сумме может стоять отрицательный знак?

Answer 1

Ответ:

3 или 4 минуса

Пошаговое объяснение:

(a + b + c + d)^2

1) Если поставили один минус, например, перед с:

(a + b - c + d)^2 = ((a+b+d) - c)^2 = (a+b+d)^2 - 2(a+b+d)*c + c^2 =

= (a+b+c)^2 - 2ac - 2bc - 2cd + c^2

Скобка даёт только плюсы, поэтому получается 3 минуса.

2) Если поставили два минуса, например, перед b и с:

(a - b - c + d)^2 = ((a+d) - (b+c))^2 = (a+d)^2 - 2(a+d)(b+c) + (b+c)^2 =

= (a+d)^2 - 2ab - 2bd - 2ac - 2cd + (b+c)^2

Обе скобки дают только плюсы, поэтому получается 4 минуса.

3) Если поставили 3 минуса, например, перед а, b, c.

(-a - b - c + d)^2 = (d - (a+b+c))^2 = d^2 - 2d(a+b+c) + (a+b+c)^2 =

= d^2 - 2ad - 2bd - 2cd + (a+b+c)^2

Скобка даёт только плюсы, поэтому получается 3 минуса.

Answer 2

Если в выражении (a+b+c+d)² перед некоторыми (не всеми) из переменных a, b, c, d поставили знак "-", то это означает, что эти переменные были помножены на -1.

При раскрытии скобок в выражении (a+b+c+d)² получается сумма всех возможных произведений пар переменных, а именно: a² + ab + ac + ad + ba + b² + bc + bd + ca + cb + c² + cd + da + db + dc + d².

Чтобы определить, при скольких слагаемых в полученной сумме может стоять отрицательный знак, нужно рассмотреть каждое слагаемое в отдельности и определить, какие из них содержат переменные, умноженные на -1.

В данном случае, когда перед некоторыми переменными поставлен знак "-", у нас есть следующие возможные слагаемые, содержащие отрицательный знак:

• ab
• ac
• ad
• ba
• bc
• bd
• ca
• cb
• cd
• da
• db
• dc

Таким образом, в полученной сумме может стоять отрицательный знак при 12 слагаемых.