Question

Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти вероятность того, что пять опытов пройдут удачно, если общее их количество равно а) шесть, б) 120.

Answer 1

Ответ:

a) 64/243

б) 1,28*10⁻⁴⁷

Пошаговое объяснение:

а) Воспользуемся формулой Бернулли:

$P_n(k)=C^k_n*p^k*q^{n-k} \\ \\ n=6;\ k=5; \ p=\frac{2}{3} ; \ q=1-p=\frac{1}{3}. \\ \\ P_6(5)=C^5_6*p^5*q=6*\left(\frac{2}{3}\right)^5*\frac{1}{3}=\frac{64}{243}$

б) Так как n велико, а p не стремится к нулю и единице, воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа

$P_n(k)\approx\frac{\varphi(x)}{\sqrt{npq}} \\ \\ \sqrt{npq}=\sqrt{120*\frac{2}{3}*\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{80}{3} }\\ \\ x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}} =\frac{5-120*\frac{2}{3}}{\sqrt{80/3}} =\frac{-75}{\sqrt{80/3}}\approx -14.52 \\ \\ \varphi(-14.52)=\varphi(14.52)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} } *e^{-\frac{14.52^2}{2}}\approx 6.6*10^{-47} \\ \\ P_{120}(5)\approx\frac{6.6*10^{-47}}{\sqrt{80/3}} \approx 1.28*10^{-47}$

Answer 2

Дано, что вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3.

Мы хотим найти вероятность того, что пять опытов пройдут успешно, при условии, что общее количество опытов равно а) шести, б) ста двадцати.

а) Количество опытов равно шести. Чтобы пять опытов пройшли успешно, один опыт должен закончиться неудачей. Вероятность неудачи в опыте составляет (1 - 2/3) = 1/3.

Вероятность одного неудачного опыта: 1/3 Вероятность пяти успешных опытов: (2/3)^5

Тогда вероятность, что пять опытов пройдут успешно из шести опытов: P(5 успешных опытов из 6) = P(1 неудачного опыта) * P(5 успешных опытов) = (1/3) * (2/3)^5

б) Количество опытов равно ста двадцати. Вероятность одного неудачного опыта остается 1/3, а вероятность пяти успешных опытов остается (2/3)^5.

Тогда вероятность, что пять опытов пройдут успешно из ста двадцати опытов: P(5 успешных опытов из 120) = P(1 неудачного опыта) * P(5 успешных опытов) = (1/3) * (2/3)^5

Вы можете вычислить эти вероятности, используя калькулятор или программу для вычисления чисел с плавающей запятой.