Question

Дифференциальные уравнения: Найти частные решения:1) ((d^2y)/(dx^2)) - 6 * (dy/dx) + 13 = 0; если y=3 и dy/dx=11 при x=02) ((d^2y)/(dx^2)) - (dy/dx) - 2y = 0; если y=3 и dy/dx=0 при x=0Пожалуйста, помогите, кому не сложно и кто разбирается... Сам не справлюсь

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ y''-6y'+13y=0\ \ ,\ \ y(0)=3\ ,\ y'(0)=11\\\\k^2-6k+13=0\ \,\ \ D/4=9-13=-4$

$2)\ \ y''-y'-2y=0\ \ ,\ \ y(0)=3\ ,\ y'(0)=0\\\\k^2-k-2=0\ \ ,\ \ k_1=-1\ ,\ k_2=2\ \ (teorema\ Vieta)\\\\y_{obshee}=C_1\cdot e^{-x}+C_2\cdot e^{2x}\\\\y(0)=C_1+C_2=3\\\\y'=-C_1\cdot e^{-x}+2C_2\cdot e^{2x}\\\\y'(0)=-C_1+2C_2=0$

$\left\{\begin{array}{ccc}C_1+C_2=3\\-C_1+2C_2=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}C_1=3-C_2\\3C_2=3\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}C_1=2\\C_2=1\end{array}\right\\\\\\y_{chastn.}=2\cdot e^{-x}+e^{2x}$

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам с этими дифференциальными уравнениями. Давайте рассмотрим их по очереди.

1. Уравнение: ((d^2y)/(dx^2)) - 6 * (dy/dx) + 13 = 0

Для нахождения частного решения воспользуемся методом характеристического уравнения. Предположим, что решение имеет вид y = e^(rx), где r - неизвестная константа.

Подставим это предположение в исходное уравнение:

r^2 * e^(rx) - 6r * e^(rx) + 13e^(rx) = 0

Факторизуем e^(rx):

e^(rx) * (r^2 - 6r + 13) = 0

Поскольку e^(rx) не равно нулю для всех значений x, у нас остается квадратное уравнение:

r^2 - 6r + 13 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-6)^2 - 4 * 1 * 13 = 36 - 52 = -16

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет комплексные корни:

r = (6 ± √(-16)) / 2 = (6 ± 4i) / 2 = 3 ± 2i

Таким образом, общее решение имеет вид:

y = C1 * e^(3x) * cos(2x) + C2 * e^(3x) * sin(2x),

где C1 и C2 - произвольные константы.

Теперь нам нужно найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y = 3 и dy/dx = 11 при x = 0.

Подставим x = 0 в общее решение и найдем производную:

y = C1 * e^(30) * cos(20) + C2 * e^(30) * sin(20) = C1 + 0 = C1,

dy/dx = 3C1 * e^(30) * (-sin(20)) + 2C2 * e^(30) * cos(20) = -3C1 + 0 = -3C1.

Из начальных условий y = 3 и dy/dx = 11 при x = 0 мы получаем следующую систему уравнений:

C1 = 3, -3C1 = 11.

Решим эту систему:

C1 = 3, -3 * 3 = -9.

Таким образом, частное решение данного уравнения:

y = 3 * e^(3x) * cos(2x) - 9 * e^(3x) * sin(2x).