Question

Помогите срочно!!! dy/dx+2y/x=1/x^2

Answer 1

ДУ 1 порядка неоднородное. Решается заменой y(x) = u(x)*v(x)
Тогда dy/dx = y' = u'*v + u*v'. Подставляем
u'*v +u*v' + 2u*v/x = 1/x^2
u'*v + u*(v' + 2v/x) = 1/x^2
Скобку приравниваем к 0
v' + 2v/x = 0
dv/dx = -2v/x
dv/v = -2dx/x
Интегрируем обе части, Int dz/z = ln |z|
ln |v| = -2*ln |x| = ln |x|^(-2) = ln (1/x^2)
v(x) = 1/x^2
Теперь подставляем v(x) в уравнение и 0 вместо скобки
u'*v + u'*0 = 1/x^2
u'*1/x^2 = 1/x^2
u' = 1
u(x) = x + C
Получаем
y(x) = u(x)*v(x) = (x + C)*1/x^2 = 1/x + C/x^2

Answer 2

Конечно! Давайте решим данное дифференциальное уравнение методом вариации постоянной. Для начала приведем уравнение к более удобному виду.

dy/dx + (2y/x) = 1/x^2

Перепишем его в виде:

x^2 * dy/dx + 2xy = 1

Теперь заметим, что это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид:

y = (1/x^2) * ∫(x^2)e^(-∫(2x/x^2)dx) dx + C * x^2

Давайте разберемся с интегралом:

∫(2x/x^2)dx = 2∫(1/x)dx = 2ln|x| + D, где D - произвольная постоянная.

Теперь подставим полученное значение обратно в общее решение:

y = (1/x^2) * ∫(x^2)e^(-2ln|x| + D)dx + C * x^2

y = (1/x^2) * ∫(x^2)(e^D)(1/x^2)dx + C * x^2

y = ∫e^Ddx + C * x^2

y = (e^D)x + C * x^2

Где (e^D) и C - произвольные постоянные.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

y = Ax + B * x^2,

где A = (e^D) и B = C.

Надеюсь, это поможет! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.