Question

Найти указанный предел.lim arctg 2x/tg3xx -> 0​

Answer 1

lim arctg 2x/tg3x=lim arctg 2x/tg3x=2/3

x -> 0​

lim  2x/3x=2/3

x -> 0​

использовал эквивалентности бесконечно малых, заменяя arctg 2x на 2х, а tg3x  на 3х, затем сократил дробь на х.

Answer 2

Для нахождения указанного предела, давайте воспользуемся асимптотическим свойством тангенса.

Мы знаем, что tg(π/4) = 1, и у нас есть предел tg(3x) при x стремящемся к нулю. Давайте воспользуемся этими фактами.

lim (3x) -> 0 tg(3x) = tg(0) = 0

Теперь мы можем переписать наш исходный предел следующим образом:

lim (arctg(2x)/tg(3x)) -> 0

Подставим найденное значение tg(3x):

lim (arctg(2x)/0) -> 0

Так как знаменатель равен нулю, мы имеем деление на ноль. Поэтому исходный предел не существует.